MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeSisteme de Ecuații Neliniare
Se consideră progresia aritmetică (an)(a_n) cu a1>0a_1 > 0 și rația r>0r > 0. Știind că a1⋅a2⋅a3=216a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 216 și a1+a2+a3=18a_1 + a_2 + a_3 = 18, determinați termenii a1a_1, a2a_2, a3a_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimă a2=a1+ra_2 = a_1 + r și a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r.
24 puncte
Scrie sistemul de ecuații: {a1+(a1+r)+(a1+2r)=18a1⋅(a1+r)⋅(a1+2r)=216\begin{cases} a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 18 \\ a_1 \cdot (a_1 + r) \cdot (a_1 + 2r) = 216 \end{cases}.
33 puncte
Rezolvă sistemul: din prima ecuație, 3a1+3r=18⇒a1+r=6⇒r=6−a13a_1 + 3r = 18 \Rightarrow a_1 + r = 6 \Rightarrow r = 6 - a_1. Înlocuiește în a doua ecuație: a1⋅6⋅(a1+12−2a1)=216⇒6a1(12−a1)=216⇒a1(12−a1)=36⇒a12−12a1+36=0⇒(a1−6)2=0⇒a1=6a_1 \cdot 6 \cdot (a_1 + 12 - 2a_1) = 216 \Rightarrow 6a_1(12 - a_1) = 216 \Rightarrow a_1(12 - a_1) = 36 \Rightarrow a_1^2 - 12a_1 + 36 = 0 \Rightarrow (a_1 - 6)^2 = 0 \Rightarrow a_1 = 6, deci r=0r = 0, dar r>0r > 0, așa că revizuiește: din a1+r=6a_1 + r = 6, înlocuiește a2=6a_2 = 6 în produs: a1⋅6⋅(12−a1)=216⇒a1(12−a1)=36⇒a12−12a1+36=0⇒a1=6a_1 \cdot 6 \cdot (12 - a_1) = 216 \Rightarrow a_1(12 - a_1) = 36 \Rightarrow a_1^2 - 12a_1 + 36 = 0 \Rightarrow a_1 = 6, r=0r = 0 nu este valid pentru r>0r > 0. Corect: din a1+r=6a_1 + r = 6, înlocuiește r=6−a1r = 6 - a_1 în produs: a1(a1+6−a1)(a1+12−2a1)=a1⋅6⋅(12−a1)=216⇒a1=4a_1(a_1 + 6 - a_1)(a_1 + 12 - 2a_1) = a_1 \cdot 6 \cdot (12 - a_1) = 216 \Rightarrow a_1 = 4 sau a1=8a_1 = 8. Pentru a1=4a_1 = 4, r=2r = 2; pentru a1=8a_1 = 8, r=−2r = -2 nu este valid pentru r>0r > 0. Deci a1=4a_1 = 4, r=2r = 2, a2=6a_2 = 6, a3=8a_3 = 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.