MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeProgresii Geometrice
Fie (an)(a_n) o progresie aritmetică și (bn)(b_n) o progresie geometrică cu termeni pozitivi. Se știe că a1=b1=1a_1 = b_1 = 1, a2=b2a_2 = b_2, și a4=b3a_4 = b_3. Determinați rația progresiei geometrice și suma primilor 10 termeni ai progresiei aritmetice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm rr rația progresiei aritmetice și qq rația progresiei geometrice. Atunci an=1+(n−1)ra_n = 1 + (n-1)r și bn=1⋅qn−1b_n = 1 \cdot q^{n-1}. Din condițiile a2=b2a_2 = b_2 și a4=b3a_4 = b_3, avem sistemul: 1+r=q1 + r = q și 1+3r=q21 + 3r = q^2.
24 puncte
Substituind q=1+rq = 1 + r în a doua ecuație, obținem 1+3r=(1+r)21 + 3r = (1 + r)^2. Rezolvând: 1+3r=1+2r+r21 + 3r = 1 + 2r + r^2, deci r2−r=0r^2 - r = 0, adică r(r−1)=0r(r-1)=0. Astfel, r=0r=0 sau r=1r=1.
32 puncte
Dacă r=0r=0, atunci q=1q=1, iar progresia geometrică este constantă, cu toți termenii egali cu 1. Dacă r=1r=1, atunci q=2q=2. Ambele cazuri sunt valabile conform condițiilor.
41 punct
Pentru r=0r=0, suma primilor 10 termeni ai progresiei aritmetice este S10=10⋅a1=10S_{10} = 10 \cdot a_1 = 10. Pentru r=1r=1, S10=102(2⋅1+9⋅1)=5⋅11=55S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 1 + 9 \cdot 1) = 5 \cdot 11 = 55.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.