MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 9

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie a,b,ca, b, c numere reale astfel încât a+b+c=0a+b+c=0 și a2+b2+c2=1a^2+b^2+c^2=1. Calculați valoarea expresiei a4+b4+c4a^4+b^4+c^4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din a+b+c=0a+b+c=0, folosind identitatea (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca), obținem 0=1+2(ab+bc+ca)0 = 1 + 2(ab+bc+ca), deci ab+bc+ca=−12ab+bc+ca = -\frac{1}{2}.
24 puncte
Calculăm (ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c). Cum a+b+c=0a+b+c=0, avem (ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2. Înlocuind ab+bc+ca=−12ab+bc+ca = -\frac{1}{2}, obținem a2b2+b2c2+c2a2=(−12)2=14a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.
33 puncte
Folosim identitatea (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)(a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2). Înlocuind a2+b2+c2=1a^2+b^2+c^2=1 și a2b2+b2c2+c2a2=14a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{1}{4}, avem 12=a4+b4+c4+2⋅141^2 = a^4+b^4+c^4+2 \cdot \frac{1}{4}, deci 1=a4+b4+c4+121 = a^4+b^4+c^4 + \frac{1}{2}, așadar a4+b4+c4=12a^4+b^4+c^4 = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.