MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceNumere Complexe
Se consideră șirul (an)n≥0(a_n)_{n\ge 0} definit prin a0=1a_0=1 și an+1=(1+i)ana_{n+1}=(1+i)a_n, pentru orice n∈Nn\in\mathbb{N}, unde i2=−1i^2=-1. 1) Arătați că (an)(a_n) este o progresie geometrică și determinați suma Sn=a0+a1+⋯+anS_n=a_0+a_1+\dots+a_n. 2) Demonstrați că modulul ∣Sn∣|S_n| al sumei este egal cu 2n+2−2n+1cos⁡(n+2)π4−2n2+1cos⁡nπ4+1\sqrt{2^{n+2}-2^{n+1}\cos\frac{(n+2)\pi}{4}-2^{\frac{n}{2}+1}\cos\frac{n\pi}{4}+1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează rația q=1+iq=1+i; șirul este progresie geometrică deoarece an+1=q⋅ana_{n+1}=q\cdot a_n.
23 puncte
Suma Sn=a0⋅qn+1−1q−1=1⋅(1+i)n+1−1(1+i)−1=(1+i)n+1−1iS_n=a_0\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=1\cdot\frac{(1+i)^{n+1}-1}{(1+i)-1}=\frac{(1+i)^{n+1}-1}{i}.
34 puncte
Se scrie 1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right); se aplică formula lui Moivre: (1+i)n+1=2n+12(cos⁡(n+1)π4+isin⁡(n+1)π4)(1+i)^{n+1}=2^{\frac{n+1}{2}}\left(\cos\frac{(n+1)\pi}{4}+i\sin\frac{(n+1)\pi}{4}\right). Atunci Sn=2n+12(cos⁡(n+1)π4+isin⁡(n+1)π4)−1iS_n=\frac{2^{\frac{n+1}{2}}\left(\cos\frac{(n+1)\pi}{4}+i\sin\frac{(n+1)\pi}{4}\right)-1}{i}. Se calculează ∣Sn∣|S_n| folosind ∣a+bi∣=a2+b2|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} și identități trigonometrice, obținând expresia cerută.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.