MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Fie funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x-2}. a) Determinați asimptotele funcției. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem. c) Studiați convexitatea și concavitatea. d) Trasați graficul funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
11 punct
Asimptota verticală: lim⁡x→2f(x)=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \infty (deoarece numitorul tinde la 0, iar numărătorul la −1-1), deci x=2x=2 este asimptotă verticală.
22 puncte
Asimptota oblică: m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x2−4x+3x(x−2)=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 4x + 3}{x(x-2)} = 1, n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=lim⁡x→±∞(x2−4x+3x−2−x)=lim⁡x→±∞−2x+3x−2=−2n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{x^2 - 4x + 3}{x-2} - x \right) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-2x+3}{x-2} = -2, deci y=x−2y = x - 2 este asimptotă oblică.
31 punct
Derivata întâi: f′(x)=(2x−4)(x−2)−(x2−4x+3)(x−2)2=x2−4x+5(x−2)2f'(x) = \frac{(2x-4)(x-2) - (x^2-4x+3)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 5}{(x-2)^2}.
42 puncte
Semnul derivatei: x2−4x+5>0x^2 - 4x + 5 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} (discriminant negativ), deci f′(x)>0f'(x) > 0 pe domeniu, funcția este strict crescătoare pe (−∞,2)(-\infty, 2) și (2,∞)(2, \infty), nu are puncte de extrem.
51 punct
Derivata a doua: f′′(x)=(2x−4)(x−2)2−2(x−2)(x2−4x+5)(x−2)4=2(x−2)3f''(x) = \frac{(2x-4)(x-2)^2 - 2(x-2)(x^2-4x+5)}{(x-2)^4} = \frac{2}{(x-2)^3}.
62 puncte
Semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>2x > 2 (funcția este convexă pe (2,∞)(2, \infty)), f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<2x < 2 (funcția este concavă pe (−∞,2)(-\infty, 2)).
71 punct
Trasarea graficului: se reprezintă asimptotele x=2x=2 și y=x−2y=x-2, se notează comportarea funcției (crescătoare, convexă/concavă) și limitele relevante.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.