MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin x1=0x_1 = 0 și xn+1=xn+2xn+3x_{n+1} = \frac{x_n + 2}{x_n + 3} pentru orice n≥1n \ge 1. a) Studiați monotonitatea șirului (xn)(x_n). b) Arătați că șirul este mărginit. c) Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție că 0≤xn<10 \le x_n < 1 pentru orice n≥1n \ge 1. Pentru n=1n=1, x1=0x_1=0. Presupunem 0≤xk<10 \le x_k < 1. Atunci xk+1=xk+2xk+3x_{k+1} = \frac{x_k + 2}{x_k + 3}. Deoarece xk≥0x_k \ge 0, numărătorul și numitorul sunt pozitive, deci xk+1>0x_{k+1} > 0. Și xk+1<1x_{k+1} < 1 deoarece xk+2xk+3<1⇔xk+2<xk+3⇔2<3\frac{x_k + 2}{x_k + 3} < 1 \Leftrightarrow x_k + 2 < x_k + 3 \Leftrightarrow 2 < 3, adevărat.
23 puncte
Se studiază diferența xn+1−xn=xn+2xn+3−xn=xn+2−xn(xn+3)xn+3=−xn2−2xn+2xn+3=−(xn2+2xn−2)xn+3x_{n+1} - x_n = \frac{x_n + 2}{x_n + 3} - x_n = \frac{x_n + 2 - x_n(x_n + 3)}{x_n + 3} = \frac{-x_n^2 - 2x_n + 2}{x_n + 3} = \frac{-(x_n^2 + 2x_n - 2)}{x_n + 3}. Se observă că pentru xn<3−1x_n < \sqrt{3} - 1, avem xn2+2xn−2<0x_n^2 + 2x_n - 2 < 0, deci xn+1−xn>0x_{n+1} - x_n > 0. Prin inducție, se poate arăta că xn<3−1x_n < \sqrt{3} - 1 pentru toți nn (deoarece x1=0x_1=0 și funcția f(x)=x+2x+3f(x)=\frac{x+2}{x+3} este crescătoare, păstrând inegalitatea). Astfel, șirul este strict crescător.
32 puncte
Din pașii anteriori, șirul este crescător și mărginit (0≤xn<3−10 \le x_n < \sqrt{3} - 1), deci converge la o limită finită LL.
42 puncte
Trecem la limită în relația de recurență: L=L+2L+3L = \frac{L + 2}{L + 3}. Rezultă L(L+3)=L+2⇒L2+2L−2=0⇒L=3−1L(L+3) = L+2 \Rightarrow L^2 + 2L - 2 = 0 \Rightarrow L = \sqrt{3} - 1 (soluția pozitivă, deoarece șirul are termeni pozitivi). Deci lim⁡n→∞xn=3−1\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{3} - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.