MediuProcenteClasa 10

Problemă rezolvată de Procente

MediuProcenteLogaritmi
O sumă de 5000 de lei este depusă într-un cont bancar cu dobândă compusă de 5%5\% pe an. Determinați după câți ani suma acumulată va depăși 8000 de lei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se scrie formula dobânzii compuse: A=P(1+r)tA = P(1 + r)^t, unde AA este suma finală, P=5000P=5000 lei este suma inițială, r=5%=0.05r=5\% = 0.05 este rata dobânzii, și tt este timpul în ani.
22 puncte
Se stabilește inegalitatea A>8000A > 8000, adică 5000(1.05)t>80005000(1.05)^t > 8000.
34 puncte
Se rezolvă inegalitatea: (1.05)t>80005000=1.6(1.05)^t > \frac{8000}{5000} = 1.6. Se aplică logaritmul în baza 10 sau natural: t⋅log⁡(1.05)>log⁡(1.6)t \cdot \log(1.05) > \log(1.6). Deci t>log⁡(1.6)log⁡(1.05)t > \frac{\log(1.6)}{\log(1.05)}. Calculând: log⁡(1.6)≈0.2041\log(1.6) \approx 0.2041, log⁡(1.05)≈0.0212\log(1.05) \approx 0.0212, deci t>0.20410.0212≈9.63t > \frac{0.2041}{0.0212} \approx 9.63.
42 puncte
Cum tt trebuie să fie un număr întreg de ani (dobânda se capitalizează la sfârșitul fiecărui an), se ia t=10t = 10 ani, deoarece după 9 ani suma este 5000⋅(1.05)9≈5000⋅1.5513=7756.55000 \cdot (1.05)^9 \approx 5000 \cdot 1.5513 = 7756.5 lei (sub 8000), iar după 10 ani: 5000⋅(1.05)10≈5000⋅1.6289=8144.55000 \cdot (1.05)^{10} \approx 5000 \cdot 1.6289 = 8144.5 lei (peste 8000). Deci suma va depăși 8000 de lei după 10 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Procente

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.
Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.
Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.
Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?
Vezi toate problemele de Procente →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.