MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1x−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}. Determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x≠1x \neq 1, deci Df=R∖{1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}.
23 puncte
Calculul asimptotelor: Asimptota verticală x=1x=1 deoarece lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty; asimptota oblică y=mx+ny = mx + n cu m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=1n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = 1, deci y=x+1y = x + 1.
33 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=2x(x−1)−(x2+1)(x−1)2=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}. Rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x)=0: x2−2x−1=0x^2 - 2x - 1 = 0 cu soluțiile x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}.
42 puncte
Studiul semnului derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,1−2)∪(1+2,∞)x \in (-\infty, 1-\sqrt{2}) \cup (1+\sqrt{2}, \infty) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(1−2,1)∪(1,1+2)x \in (1-\sqrt{2}, 1) \cup (1, 1+\sqrt{2}). Punctele de extrem sunt x=1−2x = 1-\sqrt{2} (maxim local) și x=1+2x = 1+\sqrt{2} (minim local).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.