MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an2+22ana_{n+1} = \frac{a_n^2 + 2}{2a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că an>0a_n > 0 pentru orice n≥1n \geq 1, folosind faptul că a1=2>0a_1=2>0 și din relația de recurență rezultă an+1>0a_{n+1}>0 dacă an>0a_n>0.
24 puncte
Se arată că șirul este descrescător verificând inegalitatea an+1≤ana_{n+1} \leq a_n, echivalentă cu an2+22an≤an\frac{a_n^2 + 2}{2a_n} \leq a_n, care se reduce la 2≤an22 \leq a_n^2, adevărată pentru an≥2a_n \geq \sqrt{2}; se confirmă prin inducție că an≥2a_n \geq \sqrt{2}.
33 puncte
Presupunând că limita există și este LL, din relația de recurență se obține L=L2+22LL = \frac{L^2 + 2}{2L}, care are soluția L=2L = \sqrt{2} (deoarece L>0L>0). Prin teorema convergenței șirurilor monotone și mărginite, limita este 2\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.