MediuLogică matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Pentru a≠0a \neq 0, condițiile pentru rădăcini reale: dacă Δ>0\Delta > 0, atunci P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte; dacă Δ=0\Delta = 0, are o rădăcină reală dublă; dacă Δ<0\Delta < 0, are rădăcini complexe.
23 puncte
A⇒BA \Rightarrow B este adevărată (din definiție), și B⇒AB \Rightarrow A este adevărată (pentru că Δ>0\Delta > 0 implică două rădăcini reale distincte), deci A⇔BA \Leftrightarrow B în cazul a≠0a \neq 0.
32 puncte
B⇒CB \Rightarrow C este adevărată (dacă Δ>0\Delta > 0 sau Δ=0\Delta = 0, există rădăcini reale), dar C⇒BC \Rightarrow B nu este întotdeauna adevărată; contraexemplu: a=1,b=2,c=1a=1, b=2, c=1, atunci Δ=0\Delta = 0, deci CC adevărată, dar BB falsă (pentru că Δ=0\Delta = 0, nu >0>0).
42 puncte
Pentru a=0a=0, polinomul devine P(x)=bx+cP(x) = bx + c, de gradul I. Dacă b≠0b \neq 0, are o rădăcină reală unică, deci CC adevărată, iar AA falsă (nu are două rădăcini), și BB nu este aplicabilă în sens strict (discriminantul nu este definit). Dacă b=0b=0, atunci P(x)=cP(x)=c constant; dacă c=0c=0, orice xx este rădăcină, deci CC adevărată, altfel CC falsă.
51 punct
Concluzie: În cazul a≠0a \neq 0, A⇔BA \Leftrightarrow B, și B⇒CB \Rightarrow C, dar C⇒BC \Rightarrow B este falsă în general. Pentru a=0a=0, propozițiile trebuie reinterpretate în funcție de coeficienți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Ușor#4Logică matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeTeoria Mulțimilor
Fie P(x)P(x) și Q(x)Q(x) propoziții cu variabilă reală xx, definite astfel: P(x):x2−5x+6=0P(x): x^2 - 5x + 6 = 0 și Q(x):x∈{2,3}Q(x): x \in \{2,3\}. Determinați valorile lui x∈Rx \in \mathbb{R} pentru care propoziția P(x)⇔Q(x)P(x) \Leftrightarrow Q(x) este adevărată.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.