Probleme de Logică matematică — Clasa a 9-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 398 probleme cu rezolvări complete
Teorie Logică matematică — Formule si exemple rezolvate

Logica matematică studiază propozițiile, conectivele logice și raționamentul deductiv. Este fundament pentru demonstrațiile matematice riguroase.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

73

probleme

Mediu

27

probleme

Grile de Logică matematică

298 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm discriminantul Δ=(m+1)2−4m=m2−2m+1=(m−1)2\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2. Propoziția pp este adevărată dacă Δ>0\Delta > 0, adică (m−1)2>0(m-1)^2 > 0, deci pentru m≠1m \neq 1.
23 puncte
Suma rădăcinilor este S=m+1S = m+1, iar produsul este P=mP = m. Propoziția qq: S>PS > P implică m+1>mm+1 > m, adică 1>01 > 0, care este întotdeauna adevărată. Așadar, qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
34 puncte
Analizăm p∧q→rp \land q \rightarrow r. Pentru m≠1m \neq 1, pp este adevărată, qq adevărată, iar rădăcinile ecuației sunt x1=1x_1 = 1 și x2=mx_2 = m (deoarece x2−(m+1)x+m=(x−1)(x−m)x^2 - (m+1)x + m = (x-1)(x-m)), deci rr este adevărată. Pentru m=1m=1, pp este falsă, deci p∧qp \land q este falsă, iar implicația este adevărată. În toate cazurile, propoziția este adevărată, confirmând că este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Propoziția PP: zz este real dacă și numai dacă partea imaginară este zero, adică b=0b=0. Astfel, PP este adevărată pentru b=0b=0.
23 puncte
Calculăm z2=(a+bi)2=a2−b2+2abiz^2 = (a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi. z2z^2 este real dacă partea imaginară 2ab=02ab = 0, deci ab=0ab=0. Prin urmare, QQ este adevărată dacă și numai dacă ab=0ab=0.
34 puncte
Implicația P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R: P∨QP \lor Q este adevărată dacă b=0b=0 sau ab=0ab=0. RR este adevărată dacă a2+b2=1\sqrt{a^2 + b^2} = 1. Această implicație nu este întotdeauna adevărată; de exemplu, pentru a=2a=2 și b=0b=0, avem PP adevărată (deoarece b=0b=0), dar RR falsă (∣z∣=2≠1|z| = 2 \neq 1), deci implicația este falsă. Astfel, propoziția nu este o tautologie.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Rezolvăm inecuația x2−3x+2≥0x^2 - 3x + 2 \geq 0. Se obține x2−3x+2=(x−1)(x−2)≥0x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \geq 0, cu soluțiile x≤1x \leq 1 sau x≥2x \geq 2. Deci, A=(−∞,1]∪[2,∞)A = (-\infty, 1] \cup [2, \infty).
23 puncte
Din definiția lui q(x)q(x), B={x∈R∣x≤1 sau x≥2}=(−∞,1]∪[2,∞)B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 1 \text{ sau } x \geq 2\} = (-\infty, 1] \cup [2, \infty).
32 puncte
Comparând mulțimile, avem A=BA = B.
42 puncte
Deoarece A=BA = B, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, p(x)p(x) este adevărată dacă și numai dacă q(x)q(x) este adevărată. Prin urmare, echivalența logică p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) este adevărată pentru toți x∈Rx \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Pentru a≠0a \neq 0, condițiile pentru rădăcini reale: dacă Δ>0\Delta > 0, atunci P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte; dacă Δ=0\Delta = 0, are o rădăcină reală dublă; dacă Δ<0\Delta < 0, are rădăcini complexe.
23 puncte
A⇒BA \Rightarrow B este adevărată (din definiție), și B⇒AB \Rightarrow A este adevărată (pentru că Δ>0\Delta > 0 implică două rădăcini reale distincte), deci A⇔BA \Leftrightarrow B în cazul a≠0a \neq 0.
32 puncte
B⇒CB \Rightarrow C este adevărată (dacă Δ>0\Delta > 0 sau Δ=0\Delta = 0, există rădăcini reale), dar C⇒BC \Rightarrow B nu este întotdeauna adevărată; contraexemplu: a=1,b=2,c=1a=1, b=2, c=1, atunci Δ=0\Delta = 0, deci CC adevărată, dar BB falsă (pentru că Δ=0\Delta = 0, nu >0>0).
42 puncte
Pentru a=0a=0, polinomul devine P(x)=bx+cP(x) = bx + c, de gradul I. Dacă b≠0b \neq 0, are o rădăcină reală unică, deci CC adevărată, iar AA falsă (nu are două rădăcini), și BB nu este aplicabilă în sens strict (discriminantul nu este definit). Dacă b=0b=0, atunci P(x)=cP(x)=c constant; dacă c=0c=0, orice xx este rădăcină, deci CC adevărată, altfel CC falsă.
51 punct
Concluzie: În cazul a≠0a \neq 0, A⇔BA \Leftrightarrow B, și B⇒CB \Rightarrow C, dar C⇒BC \Rightarrow B este falsă în general. Pentru a=0a=0, propozițiile trebuie reinterpretate în funcție de coeficienți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Logică matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeTeoria Mulțimilor
Fie P(x)P(x) și Q(x)Q(x) propoziții cu variabilă reală xx, definite astfel: P(x):x2−5x+6=0P(x): x^2 - 5x + 6 = 0 și Q(x):x∈{2,3}Q(x): x \in \{2,3\}. Determinați valorile lui x∈Rx \in \mathbb{R} pentru care propoziția P(x)⇔Q(x)P(x) \Leftrightarrow Q(x) este adevărată.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Rezolvăm ecuația x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0; factorizăm sau folosim formula de rezolvare: (x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3)=0, deci x=2x=2 sau x=3x=3.
22 puncte
Propoziția Q(x)Q(x) este adevărată dacă și numai dacă x=2x=2 sau x=3x=3, deoarece x∈{2,3}x \in \{2,3\}.
33 puncte
Pentru ca P(x)⇔Q(x)P(x) \Leftrightarrow Q(x) să fie adevărată, P(x)P(x) și Q(x)Q(x) trebuie să aibă aceeași valoare de adevăr. Analizăm cazurile: dacă x=2x=2 sau x=3x=3, atât P(x)P(x) cât și Q(x)Q(x) sunt adevărate; dacă x≠2x \neq 2 și x≠3x \neq 3, atunci P(x)P(x) este falsă (ecuația nu are alte rădăcini reale) și Q(x)Q(x) este falsă (deoarece x∉{2,3}x \notin \{2,3\}).
42 puncte
În toate cazurile, P(x)P(x) și Q(x)Q(x) coincid ca valoare de adevăr, deci P(x)⇔Q(x)P(x) \Leftrightarrow Q(x) este adevărată pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Logică matematicăNumere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C}, z≠0z \neq 0. Considerăm propozițiile: P:∣z∣=1P: |z| = 1 și Q:z+1z∈RQ: z + \frac{1}{z} \in \mathbb{R}. Studiați implicația P⇒QP \Rightarrow Q și reciproca Q⇒PQ \Rightarrow P.
Ușor#7Logică matematicăFuncția de gradul al II-lea
Se consideră propozițiile p:"a>0"p: "a > 0", q:"b2−4ac≥0"q: "b^2 - 4ac \geq 0" și r:"ax2+bx+c=0r: "ax^2 + bx + c = 0 are soluții reale". Să se arate că p∧q⇒rp \land q \Rightarrow r este o tautologie. Apoi, să se determine condițiile asupra numerelor reale a,b,ca, b, c pentru care propoziția (p∧¬q)∨r(p \land \neg q) \lor r este falsă.
Ușor#8Logică matematicăProbabilități
Fie EE un experiment aleator și A,BA, B două evenimente asociate. Se știe că P(A)=0.6P(A) = 0.6, P(B)=0.4P(B) = 0.4 și că propoziția logică A⇒BA \Rightarrow B este adevărată (adică AA implică BB). Să se calculeze P(A∪B)P(A \cup B) și P(A∩B)P(A \cap B). Explicați folosind logică matematică de ce A⊆BA \subseteq B.
Mediu#9Logică matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații logaritmice
Considerăm propozițiile p:x∈R,x2−4x+3≤0p: x \in \mathbb{R}, x^2 - 4x + 3 \leq 0 și q:x∈R,log⁡2(x−1)>0q: x \in \mathbb{R}, \log_2(x-1) > 0. Determinați valorile reale ale lui xx pentru care implicația p→qp \rightarrow q este adevărată. Apoi, stabiliți dacă propoziția ∀x∈R,(p→q)\forall x \in \mathbb{R}, (p \rightarrow q) este adevărată sau falsă.
Ușor#10Logică matematicăȘiruri de numere realeInducție matematică
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+32a_{n+1} = \frac{a_n + 3}{2} pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an>1a_n > 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Apoi, folosind logică, discutați valabilitatea propoziției: "Dacă an<3a_n < 3 pentru un anumit nn, atunci an+1<3a_{n+1} < 3."

Și alte 90 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Accesează toate cele 398 probleme de Logică matematică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 9-a

→Algebră și Calcule cu Numere Reale
511 probleme
→Aplicații ale trigonometriei în geometrie
411 probleme
→Funcția de gradul I
399 probleme
→Identități algebrice
396 probleme
→Inducție matematică
391 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.