MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie x,y,zx, y, z termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice cu rația pozitivă. Știind că log⁡2x,log⁡2y,log⁡2z\log_2 x, \log_2 y, \log_2 z sunt în progresie aritmetică și că x+y+z=21x + y + z = 21, determinați x,y,zx, y, z.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din progresia aritmetică a lui x,y,zx, y, z, avem 2y=x+z2y = x + z.
23 puncte
Din progresia aritmetică a logaritmilor, log⁡2y−log⁡2x=log⁡2z−log⁡2y\log_2 y - \log_2 x = \log_2 z - \log_2 y, deci y2=xzy^2 = xz.
33 puncte
Înlocuind x+z=2yx + z = 2y în x+y+z=21x + y + z = 21, obținem 3y=213y = 21, deci y=7y = 7.
42 puncte
Din y2=xzy^2 = xz și 2y=x+z2y = x + z, cu y=7y=7, avem 49=xz49 = xz și 14=x+z14 = x + z. Rezolvând sistemul, găsim xx și zz ca rădăcinile ecuației t2−14t+49=0t^2 - 14t + 49 = 0, deci x=z=7x = z = 7. Astfel, x=y=z=7x = y = z = 7.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.