MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeIntegrale definite
Calculați aria suprafeței plane mărginită de graficul funcției f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=πx=\pi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Determinăm o primitivă a lui f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Notăm I=∫e−xsin⁡xdxI = \int e^{-x} \sin x dx. Integrăm prin părți: alegem u=sin⁡xu = \sin x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx, deci du=cos⁡xdxdu = \cos x dx, v=−e−xv = -e^{-x}. Atunci I=−e−xsin⁡x−∫(−e−x)cos⁡xdx=−e−xsin⁡x+∫e−xcos⁡xdxI = -e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \cos x dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x dx. Aplicăm din nou integrarea prin părți pentru J=∫e−xcos⁡xdxJ = \int e^{-x} \cos x dx cu u=cos⁡xu = \cos x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx, obținând J=−e−xcos⁡x−∫e−xsin⁡xdx=−e−xcos⁡x−IJ = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \cos x - I.
23 puncte
Substituim JJ în expresia pentru II: I=−e−xsin⁡x+(−e−xcos⁡x−I)I = -e^{-x} \sin x + (-e^{-x} \cos x - I), deci 2I=−e−x(sin⁡x+cos⁡x)2I = -e^{-x} (\sin x + \cos x). Astfel, I=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+CI = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C, deci o primitivă este F(x)=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+CF(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C.
33 puncte
Calculăm integrala definită pentru aria: ∫0πe−xsin⁡xdx=F(π)−F(0)=[−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)]0π=−12e−π(sin⁡π+cos⁡π)+12e0(sin⁡0+cos⁡0)=−12e−π(0−1)+12(0+1)=12(1+e−π)\int_0^{\pi} e^{-x} \sin x dx = F(\pi) - F(0) = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) \right]_0^{\pi} = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi) + \frac{1}{2} e^{0} (\sin 0 + \cos 0) = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (0 - 1) + \frac{1}{2} (0 + 1) = \frac{1}{2} (1 + e^{-\pi}). Deoarece f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [0,π][0, \pi], aria este 12(1+e−π)\frac{1}{2} (1 + e^{-\pi}) unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.