MediuProgresii AritmeticeClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} o progresie aritmetică cu raţia rr. Știind că a1+a3+a5=21a_1 + a_3 + a_5 = 21 și a2⋅a4=40a_2 \cdot a_4 = 40, determinaţi primii cinci termeni ai progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem termenii progresiei în funcţie de a1a_1 și rr: a1=a1a_1 = a_1, a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r, a5=a1+4ra_5 = a_1 + 4r.
23 puncte
Formăm ecuaţiile din condiţiile date: a1+a3+a5=a1+(a1+2r)+(a1+4r)=3a1+6r=21a_1 + a_3 + a_5 = a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) = 3a_1 + 6r = 21 și a2⋅a4=(a1+r)(a1+3r)=40a_2 \cdot a_4 = (a_1 + r)(a_1 + 3r) = 40.
33 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuaţii: 3a1+6r=21⇒a1+2r=73a_1 + 6r = 21 \Rightarrow a_1 + 2r = 7 și (a1+r)(a1+3r)=40(a_1 + r)(a_1 + 3r) = 40. Substituind a1=7−2ra_1 = 7 - 2r în a doua ecuaţie, obţinem (7−r)(7+r)=49−r2=40(7 - r)(7 + r) = 49 - r^2 = 40, deci r2=9r^2 = 9, adică r=3r = 3 sau r=−3r = -3.
42 puncte
Pentru r=3r = 3, a1=7−2⋅3=1a_1 = 7 - 2 \cdot 3 = 1, deci primii cinci termeni sunt 1,4,7,10,131, 4, 7, 10, 13. Pentru r=−3r = -3, a1=7−2⋅(−3)=13a_1 = 7 - 2 \cdot (-3) = 13, deci primii cinci termeni sunt 13,10,7,4,113, 10, 7, 4, 1. Ambele soluţii sunt valabile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.