MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie aritmetică cu rația rr. Știind că a1+a3+a5=15a_1 + a_3 + a_5 = 15 și a2⋅a4=24a_2 \cdot a_4 = 24, determinați primul termen a1a_1 și rația rr, apoi calculați suma S10S_{10} a primilor 10 termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimăm termenii: a1=a1a_1 = a_1, a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r, a5=a1+4ra_5 = a_1 + 4r.
23 puncte
Formăm sistemul: a1+a3+a5=3a1+6r=15a_1 + a_3 + a_5 = 3a_1 + 6r = 15 și a2⋅a4=(a1+r)(a1+3r)=24a_2 \cdot a_4 = (a_1 + r)(a_1 + 3r) = 24.
33 puncte
Din prima ecuație, a1+2r=5a_1 + 2r = 5 deci a1=5−2ra_1 = 5 - 2r. Substituim în a doua: (5−r)(5+r)=25−r2=24(5 - r)(5 + r) = 25 - r^2 = 24, deci r2=1r^2 = 1, r=±1r = \pm 1. Pentru r=1r=1, a1=3a_1 = 3; pentru r=−1r=-1, a1=7a_1 = 7.
42 puncte
Calculăm S10=5(2a1+9r)S_{10} = 5(2a_1 + 9r). Pentru (a1,r)=(3,1)(a_1, r) = (3,1), S10=5(6+9)=75S_{10} = 5(6+9)=75. Pentru (7,−1)(7,-1), S10=5(14−9)=25S_{10} = 5(14-9)=25.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.