MediuProcenteClasa 10

Problemă rezolvată de Procente

MediuProcenteProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O cultură de bacterii crește astfel încât numărul bacterilor crește cu 8% pe oră. La momentul inițial, sunt 500 bacterii. a) Exprimați numărul de bacterii după nn ore ca o progresie geometrică. b) Determinați după câte ore numărul bacterilor va fi cel puțin 2000. c) Dacă la fiecare 3 ore se adaugă un inhibitor care reduce populația cu 12%, calculați numărul de bacterii imediat după ce s-a adăugat inhibitorul la ora 6.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Numărul de bacterii după fiecare oră formează o progresie geometrică cu primul termen a1=500a_1 = 500 și rația q=1+8100=1.08q = 1 + \frac{8}{100} = 1.08. Astfel, după nn ore, numărul este an=500⋅(1.08)na_n = 500 \cdot (1.08)^n.
24 puncte
Pentru a găsi nn astfel încât an≥2000a_n \geq 2000, rezolvăm inecuația 500⋅(1.08)n≥2000⇒(1.08)n≥4500 \cdot (1.08)^n \geq 2000 \Rightarrow (1.08)^n \geq 4. Logaritmând, n≥ln⁡4ln⁡1.08≈1.38630.07696≈18.01n \geq \frac{\ln 4}{\ln 1.08} \approx \frac{1.3863}{0.07696} \approx 18.01, deci n=19n = 19 ore (deoarece nn este număr întreg).
33 puncte
După primele 3 ore, numărul este 500⋅(1.08)3500 \cdot (1.08)^3. La ora 3, se adaugă inhibitorul, reducând cu 12%: 500⋅(1.08)3⋅0.88500 \cdot (1.08)^3 \cdot 0.88. Apoi, în următoarele 3 ore, crește din nou cu 8% pe oră: 500⋅(1.08)3⋅0.88⋅(1.08)3=500⋅(1.08)6⋅0.88500 \cdot (1.08)^3 \cdot 0.88 \cdot (1.08)^3 = 500 \cdot (1.08)^6 \cdot 0.88. La ora 6, se adaugă din nou inhibitorul, reducând cu 12%: 500⋅(1.08)6⋅0.88⋅0.88=500⋅(1.08)6⋅(0.88)2500 \cdot (1.08)^6 \cdot 0.88 \cdot 0.88 = 500 \cdot (1.08)^6 \cdot (0.88)^2. Calcul numeric: 500⋅1.58687⋅0.7744≈614.25≈614500 \cdot 1.58687 \cdot 0.7744 \approx 614.25 \approx 614 bacterii.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Procente

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.
Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.
Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.
Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?
Vezi toate problemele de Procente →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.