MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogaritmi
Determinați domeniul de definiție și valoarea minimă a funcției f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=log⁡2(x2−4x+5)−log⁡2(x−1)f(x) = \log_2(x^2 - 4x + 5) - \log_2(x-1).

Rezolvare completă

12 puncte · 5 pași
13 puncte
Găsirea domeniului: pentru log⁡2(x−1)\log_2(x-1), avem x−1>0x-1 > 0, deci x>1x > 1; pentru log⁡2(x2−4x+5)\log_2(x^2 - 4x + 5), discriminantul este (−4)2−4⋅5=−4<0(-4)^2 - 4 \cdot 5 = -4 < 0, deci x2−4x+5>0x^2 - 4x + 5 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Astfel, D=(1,∞)D = (1, \infty).
22 puncte
Simplificarea funcției: f(x)=log⁡2(x2−4x+5x−1)f(x) = \log_2\left(\frac{x^2 - 4x + 5}{x-1}\right).
33 puncte
Substituția t=x−1t = x-1, cu t>0t > 0. Atunci x2−4x+5x−1=(t+1)2−4(t+1)+5t=t2−2t+2t=t+2t−2\frac{x^2 - 4x + 5}{x-1} = \frac{(t+1)^2 - 4(t+1) + 5}{t} = \frac{t^2 - 2t + 2}{t} = t + \frac{2}{t} - 2.
42 puncte
Aplicarea inegalității medie aritmetică-geometrică: pentru t>0t > 0, t+2t≥2t⋅2t=22t + \frac{2}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}, cu egalitate când t=2t = \sqrt{2}. Deci t+2t−2≥22−2t + \frac{2}{t} - 2 \geq 2\sqrt{2} - 2.
52 puncte
Valoarea minimă a lui f(x)f(x) este log⁡2(22−2)\log_2(2\sqrt{2} - 2), obținută pentru x=t+1=2+1x = t+1 = \sqrt{2}+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.