MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteTrigonometrie
Să se determine o primitivă a funcției f(x)=exsin⁡xf(x) = e^x \sin x și apoi să se calculeze integrala definită ∫0πf(x)dx\int_0^{\pi} f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Se aplică integrarea prin părți pentru a găsi primitiva. Fie u=sin⁡xu = \sin x, dv=exdxdv = e^x dx, atunci du=cos⁡xdxdu = \cos x dx, v=exv = e^x. Obținem ∫exsin⁡xdx=exsin⁡x−∫excos⁡xdx\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx. Apoi se integrează din nou prin părți pentru ∫excos⁡xdx\int e^x \cos x dx, cu u=cos⁡xu = \cos x, dv=exdxdv = e^x dx, rezultând ∫excos⁡xdx=excos⁡x+∫exsin⁡xdx\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx. Se substituie și se obține ∫exsin⁡xdx=exsin⁡x−(excos⁡x+∫exsin⁡xdx)\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - (e^x \cos x + \int e^x \sin x dx), de unde 2∫exsin⁡xdx=ex(sin⁡x−cos⁡x)+C2\int e^x \sin x dx = e^x (\sin x - \cos x) + C, deci primitiva este F(x)=ex(sin⁡x−cos⁡x)2+CF(x) = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2} + C.
25 puncte
Se calculează integrala definită: ∫0πexsin⁡xdx=F(π)−F(0)=eπ(sin⁡π−cos⁡π)2−e0(sin⁡0−cos⁡0)2=eπ(0−(−1))2−1(0−1)2=eπ2+12=eπ+12\int_0^{\pi} e^x \sin x dx = F(\pi) - F(0) = \frac{e^{\pi} (\sin \pi - \cos \pi)}{2} - \frac{e^0 (\sin 0 - \cos 0)}{2} = \frac{e^{\pi} (0 - (-1))}{2} - \frac{1 (0 - 1)}{2} = \frac{e^{\pi}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{e^{\pi} + 1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.