MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin xn=ln⁡(n2+2nn2+2n+1)x_n = \ln\left(\frac{n^2 + 2n}{n^2 + 2n + 1}\right). Calculați suma Sn=x1+x2+⋯+xnS_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n și determinați lim⁡n→∞Sn\lim_{n \to \infty} S_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se simplifică termenul general: xn=ln⁡(n(n+2)(n+1)2)=ln⁡n+ln⁡(n+2)−2ln⁡(n+1)x_n = \ln\left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right) = \ln n + \ln(n+2) - 2 \ln(n+1).
25 puncte
Se scrie suma: Sn=∑k=1n[ln⁡k+ln⁡(k+2)−2ln⁡(k+1)]S_n = \sum_{k=1}^n [\ln k + \ln(k+2) - 2 \ln(k+1)]. Se grupează termenii după valoarea argumentului logaritmului: Sn=ln⁡1−ln⁡2−ln⁡(n+1)+ln⁡(n+2)=ln⁡(n+22(n+1))S_n = \ln1 - \ln2 - \ln(n+1) + \ln(n+2) = \ln\left(\frac{n+2}{2(n+1)}\right) (deoarece ln⁡1=0\ln1=0).
31 punct
lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞ln⁡(n+22(n+1))=ln⁡(12)=−ln⁡2\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \ln\left(\frac{n+2}{2(n+1)}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.