MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)(a_n) o progresie aritmetică cu rația rr. Dacă a1+a3+a5=15a_1 + a_3 + a_5 = 15 și a1⋅a3⋅a5=45a_1 \cdot a_3 \cdot a_5 = 45, determinați rr și a1a_1, apoi calculați suma primilor 10 termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm a1=aa_1 = a și rația rr. Atunci a3=a+2ra_3 = a+2r, a5=a+4ra_5 = a+4r. Condițiile devin: a+(a+2r)+(a+4r)=15a + (a+2r) + (a+4r) = 15 și a(a+2r)(a+4r)=45a(a+2r)(a+4r) = 45.
24 puncte
Din prima ecuație, 3a+6r=15⇒a+2r=53a + 6r = 15 \Rightarrow a + 2r = 5. Substituim a=5−2ra = 5-2r în a doua ecuație: (5−2r)⋅5⋅(5+2r)=45⇒25−4r2=9⇒r2=4⇒r=±2(5-2r) \cdot 5 \cdot (5+2r) = 45 \Rightarrow 25 - 4r^2 = 9 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = \pm 2. Apoi a=5−2ra = 5 - 2r, deci pentru r=2r=2, a=1a=1, iar pentru r=−2r=-2, a=9a=9.
33 puncte
Suma primilor 10 termeni este S10=102(2a+9r)S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9r). Pentru a=1,r=2a=1, r=2, S10=5(2+18)=100S_{10} = 5(2 + 18) = 100. Pentru a=9,r=−2a=9, r=-2, S10=5(18−18)=0S_{10} = 5(18 - 18) = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.