MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−4x+3)f(x) = e^{-x} (x^2 - 4x + 3). Să se determine domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie, punctele de extrem și să se discute convexitatea.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Domeniul de definiție este Df=RD_f = \mathbb{R} deoarece funcția este definită pentru orice xx real.
22 puncte
Calculăm derivata: f′(x)=−e−x(x2−4x+3)+e−x(2x−4)=e−x(−x2+6x−7)f'(x) = -e^{-x}(x^2 - 4x + 3) + e^{-x}(2x - 4) = e^{-x}(-x^2 + 6x - 7).
32 puncte
Studiul semnului lui f′(x)f'(x): rezolvăm −x2+6x−7=0-x^2 + 6x - 7 = 0, cu rădăcinile x1,2=3±2x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{2}. Pe (−∞,3−2)(-\infty, 3-\sqrt{2}), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare; pe (3−2,3+2)(3-\sqrt{2}, 3+\sqrt{2}), f′(x)>0f'(x) > 0, crescătoare; pe (3+2,∞)(3+\sqrt{2}, \infty), f′(x)<0f'(x) < 0, descrescătoare.
42 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=e−x(x2−8x+13)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 8x + 13). Rezolvăm x2−8x+13=0x^2 - 8x + 13 = 0, cu rădăcinile x=4±3x = 4 \pm \sqrt{3}. Pe (−∞,4−3)(-\infty, 4-\sqrt{3}), f′′(x)>0f''(x) > 0, convexă; pe (4−3,4+3)(4-\sqrt{3}, 4+\sqrt{3}), f′′(x)<0f''(x) < 0, concavă; pe (4+3,∞)(4+\sqrt{3}, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0, convexă.
52 puncte
Asimptote: lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, deci y=0y=0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty. lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, nu există asimptotă spre −∞-\infty.
61 punct
Punctele de extrem: x=3−2x = 3-\sqrt{2} este punct de minim local, x=3+2x = 3+\sqrt{2} este punct de maxim local.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.