MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveLogaritmi
Să se calculeze o primitivă a funcției f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx1+ln⁡xf(x) = \frac{\ln x}{x \sqrt{1 + \ln x}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Facem substituția t=ln⁡xt = \ln x, deci dt=1x dxdt = \frac{1}{x} \, dx. Atunci integrala devine ∫t1+t dt\int \frac{t}{\sqrt{1+t}} \, dt.
23 puncte
Notăm u=1+tu = 1+t, deci du=dtdu = dt și t=u−1t = u-1. Integrala este ∫u−1u du=∫(u1/2−u−1/2) du\int \frac{u-1}{\sqrt{u}} \, du = \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) \, du.
33 puncte
Calculăm ∫u1/2 du=23u3/2\int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} și ∫u−1/2 du=2u1/2\int u^{-1/2} \, du = 2 u^{1/2}, apoi înlocuim înapoi u=1+ln⁡xu = 1+\ln x, obținând F(x)=23(1+ln⁡x)3/2−2(1+ln⁡x)1/2+CF(x) = \frac{2}{3} (1+\ln x)^{3/2} - 2 (1+\ln x)^{1/2} + C, unde C∈RC \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.