MediuGeometrie AnaliticăClasa 10

Problemă rezolvată de Geometrie Analitică

MediuGeometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-leaSisteme de Ecuații Neliniare
Fie cercul cu ecuația x2+y2−6x+4y−12=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 și dreapta d:3x−4y+m=0d: 3x - 4y + m = 0. Determinați valorile lui mm pentru care dreapta dd este tangentă la cerc, apoi găsiți coordonatele punctelor de tangență.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Rescriem ecuația cercului în forma canonică. Grupăm termenii: (x2−6x)+(y2+4y)=12(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12. Completăm pătratele: (x2−6x+9)+(y2+4y+4)=12+9+4⇒(x−3)2+(y+2)2=25(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 = 25. Deci centrul este C(3,−2)C(3, -2) și raza r=5r = 5.
23 puncte
Condiția ca dreapta dd să fie tangentă la cerc este ca distanța de la centrul cercului la dreaptă să fie egală cu raza. Distanța de la punctul (3,−2)(3, -2) la dreapta 3x−4y+m=03x - 4y + m = 0 este d=∣3⋅3−4⋅(−2)+m∣32+(−4)2=∣9+8+m∣5=∣17+m∣5d = \frac{|3\cdot3 - 4\cdot(-2) + m|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9 + 8 + m|}{5} = \frac{|17 + m|}{5}. Punem condiția d=r=5d = r = 5: ∣17+m∣5=5⇒∣17+m∣=25\frac{|17 + m|}{5} = 5 \Rightarrow |17 + m| = 25.
32 puncte
Rezolvăm ecuația: 17+m=2517 + m = 25 sau 17+m=−2517 + m = -25, deci m=8m = 8 sau m=−42m = -42.
43 puncte
Pentru fiecare valoare a lui mm, găsim punctul de tangență rezolvând sistemul dintre ecuația cercului și ecuația dreptei. Pentru m=8m = 8, dreapta este 3x−4y+8=0⇒y=3x+843x - 4y + 8 = 0 \Rightarrow y = \frac{3x + 8}{4}. Înlocuim în ecuația cercului: x2+(3x+84)2−6x+4(3x+84)−12=0x^2 + \left(\frac{3x + 8}{4}\right)^2 - 6x + 4\left(\frac{3x + 8}{4}\right) - 12 = 0. Simplificăm: înmulțim întreaga ecuație cu 16 pentru a elimina numitorii: 16x2+(3x+8)2−96x+16(3x+8)−192=0⇒16x2+9x2+48x+64−96x+48x+128−192=0⇒25x2+0x+0=0⇒25x2=0⇒x=016x^2 + (3x + 8)^2 - 96x + 16(3x + 8) - 192 = 0 \Rightarrow 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 - 96x + 48x + 128 - 192 = 0 \Rightarrow 25x^2 + 0x + 0 = 0 \Rightarrow 25x^2 = 0 \Rightarrow x = 0. Atunci y=3⋅0+84=2y = \frac{3\cdot0 + 8}{4} = 2. Deci punctul de tangență este (0,2)(0,2). Pentru m=−42m = -42, dreapta este 3x−4y−42=0⇒y=3x−4243x - 4y - 42 = 0 \Rightarrow y = \frac{3x - 42}{4}. Înlocuim: x2+(3x−424)2−6x+4(3x−424)−12=0x^2 + \left(\frac{3x - 42}{4}\right)^2 - 6x + 4\left(\frac{3x - 42}{4}\right) - 12 = 0. Simplificăm: înmulțim cu 16: 16x2+(3x−42)2−96x+16(3x−42)−192=0⇒16x2+9x2−252x+1764−96x+48x−672−192=0⇒25x2−300x+900=0⇒x2−12x+36=0⇒(x−6)2=0⇒x=616x^2 + (3x - 42)^2 - 96x + 16(3x - 42) - 192 = 0 \Rightarrow 16x^2 + 9x^2 - 252x + 1764 - 96x + 48x - 672 - 192 = 0 \Rightarrow 25x^2 -300x +900 = 0 \Rightarrow x^2 -12x +36 = 0 \Rightarrow (x-6)^2 = 0 \Rightarrow x=6, atunci y=3⋅6−424=18−424=−6y = \frac{3\cdot6 -42}{4} = \frac{18-42}{4} = -6. Punctul de tangență este (6,−6)(6,-6).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Geometrie Analitică

Ușor#1Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
O antenă parabolică are forma unui paraboloid de rotație. Secțiunea axială a antenei este o parabolă cu ecuația y=ax2y = ax^2. Diametrul antenei este de 4 m, iar adâncimea (distanța de la vârf la planul bazei) este de 1 m. Determinați valoarea coeficientului aa și poziția focală a antenei (distanța de la vârf la focar).
Mediu#2Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații LiniareStudiul funcțiilor
O companie produce două tipuri de articole, A și B. Profitul unitar este de 120120 lei pentru A și 8080 lei pentru B. Producția este limitată de resurse: pentru fiecare articol A se consumă 22 ore de muncă și 33 kg de materie primă, iar pentru B se consumă 11 oră de muncă și 22 kg de materie primă. Disponibilul zilnic este de 100100 ore de muncă și 120120 kg de materie primă. Determinați câte articole din fiecare tip trebuie produse zilnic pentru a maximiza profitul total, folosind metode geometrice sau algebrice.
Mediu#3Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un teren în formă de triunghi are vârfurile în punctele A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0) și C(2,3)C(2,3) (coordonate în metri). Se dorește construirea unui drum drept de la punctul D(1,1)D(1,1) la latura BCBC, astfel încât drumul să fie perpendicular pe BCBC. Determinați lungimea drumului și coordonatele punctului de intersecție cu BCBC.
Ușor#4Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
După întâlnire, un vas a mers spre sud și celălalt spre vest. La două ore după întâlnire, cele două vase erau la 60 km distanță unul de celălalt. Determinați viteza fiecărui vas, știind că viteza unuia este cu 6 km/h mai mare decât a celuilalt.
Vezi toate problemele de Geometrie Analitică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Geometrie Analitică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.