MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie ana_n o progresie aritmetică cu rația r≠0r \neq 0, astfel încât a2=x+1a_2 = x+1, a5=2x−1a_5 = 2x-1 și a7=4x−3a_7 = 4x-3, unde xx este un număr real. Determinați valoarea lui xx și apoi calculați suma S=a1+a3+a5+⋯+a21S = a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{21}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem relațiile dintre termeni folosind formula termenului general: an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r. Obținem sistemul: a2=a1+r=x+1a_2 = a_1 + r = x+1, a5=a1+4r=2x−1a_5 = a_1 + 4r = 2x-1, a7=a1+6r=4x−3a_7 = a_1 + 6r = 4x-3. Scăzând prima ecuație din a doua, obținem 3r=x−23r = x-2, iar scăzând a doua din a treia, obținem 2r=2x−22r = 2x-2.
23 puncte
Rezolvăm sistemul în rr și xx: din 2r=2x−22r = 2x-2 avem r=x−1r = x-1. Înlocuim în 3r=x−23r = x-2: 3(x−1)=x−2⇒3x−3=x−2⇒2x=1⇒x=123(x-1) = x-2 \Rightarrow 3x-3 = x-2 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}. Atunci r=x−1=−12r = x-1 = -\frac{1}{2}.
32 puncte
Calculăm a1a_1 din a1+r=x+1a_1 + r = x+1: a1=x+1−r=12+1−(−12)=32+12=2a_1 = x+1 - r = \frac{1}{2}+1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2.
42 puncte
Calculăm suma SS pentru termenii cu indici impari de la a1a_1 la a21a_{21}. Acești termeni formează o progresie aritmetică cu rația 2r=−12r = -1, deoarece indicii cresc cu 2: a1,a3,a5,…,a21a_1, a_3, a_5, \dots, a_{21} au n=11n = 11 termeni. Folosim formula sumei: S=n2(2a1+(n−1)⋅2r)=112(2⋅2+10⋅(−1))=112(4−10)=112⋅(−6)=−33S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1) \cdot 2r) = \frac{11}{2}(2 \cdot 2 + 10 \cdot (-1)) = \frac{11}{2}(4 - 10) = \frac{11}{2} \cdot (-6) = -33.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.