MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrie
Calculați integrala nedefinită ∫dxx24−x2\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4 - x^2}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se folosește substituția trigonometrică x=2sin⁡tx = 2 \sin t, cu t∈(−π2,π2)t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), de unde dx=2cos⁡t dtdx = 2 \cos t \, dt și 4−x2=2cos⁡t\sqrt{4 - x^2} = 2 \cos t. Integrala devine ∫2cos⁡t dt4sin⁡2t⋅2cos⁡t=∫dt4sin⁡2t\int \frac{2 \cos t \, dt}{4 \sin^2 t \cdot 2 \cos t} = \int \frac{dt}{4 \sin^2 t}.
22 puncte
Se exprimă 14sin⁡2t=14csc⁡2t\frac{1}{4 \sin^2 t} = \frac{1}{4} \csc^2 t, deci integrala este 14∫csc⁡2t dt\frac{1}{4} \int \csc^2 t \, dt.
32 puncte
Se integrează: 14(−cot⁡t)+C=−14cot⁡t+C\frac{1}{4} (-\cot t) + C = -\frac{1}{4} \cot t + C.
43 puncte
Se revine la variabila xx: cot⁡t=cos⁡tsin⁡t=1−sin⁡2tsin⁡t=1−(x/2)2x/2=4−x2x\cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 t}}{\sin t} = \frac{\sqrt{1 - (x/2)^2}}{x/2} = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}. Rezultatul final este −4−x24x+C-\frac{\sqrt{4 - x^2}}{4x} + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.