MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmi
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=0x_1 = 0 și xn+1=ln⁡(xn+1)x_{n+1} = \ln(x_n + 1) pentru orice n≥1n \geq 1. Să se arate că șirul este convergent și să i se afle limita.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se arată prin inducție matematică că pentru orice n≥1n \geq 1, 0≤xn≤10 \leq x_n \leq 1. Pasul de bază: x1=0x_1=0, deci 0≤x1≤10\leq x_1 \leq 1. Pasul inductiv: dacă 0≤xn≤10\leq x_n \leq 1, atunci 0≤xn+1≤20\leq x_n+1 \leq 2, deci ln⁡(xn+1)≤ln⁡2≤1\ln(x_n+1) \leq \ln 2 \leq 1 (deoarece ln⁡2≈0.693<1\ln 2 \approx 0.693 < 1) și ln⁡(xn+1)≥ln⁡1=0\ln(x_n+1) \geq \ln 1 = 0. Astfel, 0≤xn+1≤10\leq x_{n+1} \leq 1.
23 puncte
Se arată că șirul este descrescător. Comparăm xn+1x_{n+1} cu xnx_n: xn+1−xn=ln⁡(xn+1)−xnx_{n+1} - x_n = \ln(x_n+1) - x_n. Considerăm funcția f(x)=ln⁡(x+1)−xf(x) = \ln(x+1) - x pe [0,1][0,1]. Derivata f′(x)=1x+1−1=−xx+1≤0f'(x) = \frac{1}{x+1} - 1 = \frac{-x}{x+1} \leq 0, deci ff este descrescătoare, iar f(0)=0f(0)=0, astfel pentru x>0x>0, f(x)<0f(x)<0, deci ln⁡(xn+1)<xn\ln(x_n+1) < x_n, adică xn+1<xnx_{n+1} < x_n. Prin urmare, șirul este strict descrescător.
32 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior, deci este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n.
42 puncte
Trecând la limită în relația de recurență: L=ln⁡(L+1)L = \ln(L+1). Rezolvăm ecuația: eL=L+1e^L = L+1. Se observă că L=0L=0 este soluție. Funcția g(L)=eL−L−1g(L)=e^L - L -1 are derivata g′(L)=eL−1>0g'(L)=e^L -1 >0 pentru L>0L>0, deci gg este strict crescătoare pe [0,∞)[0,\infty) și g(0)=0g(0)=0, deci L=0L=0 este singura soluție nenegativă. Astfel, lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.