MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1+3−x=2\sqrt{2x-1} + \sqrt{3-x} = 2 și să se verifice soluțiile obținute.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se stabilește domeniul de definiție: 2x−1≥02x-1 \geq 0 și 3−x≥03-x \geq 0, deci x∈[12,3]x \in [\frac{1}{2}, 3].
24 puncte
Se izolează 2x−1\sqrt{2x-1} și se ridică la pătrat: 2x−1=2−3−x⇒2x−1=4−43−x+3−x⇒3x−8=−43−x\sqrt{2x-1} = 2 - \sqrt{3-x} \Rightarrow 2x-1 = 4 - 4\sqrt{3-x} + 3 - x \Rightarrow 3x - 8 = -4\sqrt{3-x}.
33 puncte
Se ridică din nou la pătrat: (3x−8)2=16(3−x)⇒9x2−48x+64=48−16x⇒9x2−32x+16=0(3x-8)^2 = 16(3-x) \Rightarrow 9x^2 - 48x + 64 = 48 - 16x \Rightarrow 9x^2 - 32x + 16 = 0. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea: Δ=1024−576=448\Delta = 1024 - 576 = 448, x=32±44818=32±8718=16±479x = \frac{32 \pm \sqrt{448}}{18} = \frac{32 \pm 8\sqrt{7}}{18} = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{9}.
41 punct
Se verifică soluțiile în domeniu și în ecuația inițială: x1=16+479≈2.74x_1 = \frac{16 + 4\sqrt{7}}{9} \approx 2.74 și x2=16−479≈0.82x_2 = \frac{16 - 4\sqrt{7}}{9} \approx 0.82. Doar x2x_2 se află în [12,3][\frac{1}{2}, 3] și verifică ecuația, deci soluția este x=16−479x = \frac{16 - 4\sqrt{7}}{9}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.