MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definite
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡x−x22+1f(x) = x^2 \ln x - \frac{x^2}{2} + 1. a) Calculați lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x) și lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x). b) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției. c) Calculați ∫1ef(x) dx\int_1^e f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Limite: lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(x2ln⁡x−x22+1)\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x^2 \ln x - \frac{x^2}{2} + 1\right). Știm că lim⁡x→0+x2ln⁡x=0\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x = 0, deci lim⁡x→0+f(x)=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1. lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty deoarece x2ln⁡xx^2 \ln x domină și tinde la +∞+\infty.
23 puncte
Monotonie și extreme: f′(x)=2xln⁡x+x2⋅1x−x=2xln⁡x+x−x=2xln⁡xf'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} - x = 2x \ln x + x - x = 2x \ln x. f′(x)=0⇒2xln⁡x=0⇒x=0f'(x) = 0 \Rightarrow 2x \ln x = 0 \Rightarrow x = 0 (nu în domeniu) sau ln⁡x=0⇒x=1\ln x = 0 \Rightarrow x = 1. Pentru x∈(0,1)x \in (0,1), ln⁡x<0\ln x < 0, deci f′(x)<0f'(x) < 0; pentru x>1x > 1, ln⁡x>0\ln x > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0. Așadar, ff este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty). x=1x=1 este punct de minim, f(1)=12ln⁡1−122+1=−12+1=12f(1) = 1^2 \ln 1 - \frac{1^2}{2} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.
32 puncte
Integrala: ∫1ef(x) dx=∫1e(x2ln⁡x−x22+1)dx\int_1^e f(x) \, dx = \int_1^e \left(x^2 \ln x - \frac{x^2}{2} + 1\right) dx. Se integrează termen cu termen. Pentru ∫x2ln⁡x dx\int x^2 \ln x \, dx, se folosește integrarea prin părți: u=ln⁡xu = \ln x, dv=x2dxdv = x^2 dx, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=x33v = \frac{x^3}{3}. Atunci ∫x2ln⁡x dx=x33ln⁡x−∫x33⋅1xdx=x33ln⁡x−13∫x2dx=x33ln⁡x−x39\int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9}. Apoi, ∫x22dx=x36\int \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^3}{6} și ∫1dx=x\int 1 dx = x. Deci, ∫f(x)dx=x33ln⁡x−x39−x36+x+C=x33ln⁡x−5x318+x+C\int f(x) dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} - \frac{x^3}{6} + x + C = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{5x^3}{18} + x + C. Evaluând de la 11 la ee: F(e)=e33ln⁡e−5e318+e=e33−5e318+e=6e3−5e318+e=e318+eF(e) = \frac{e^3}{3} \ln e - \frac{5e^3}{18} + e = \frac{e^3}{3} - \frac{5e^3}{18} + e = \frac{6e^3 - 5e^3}{18} + e = \frac{e^3}{18} + e. F(1)=133ln⁡1−5⋅1318+1=0−518+1=1318F(1) = \frac{1^3}{3} \ln 1 - \frac{5 \cdot 1^3}{18} + 1 = 0 - \frac{5}{18} + 1 = \frac{13}{18}. Integrala este F(e)−F(1)=(e318+e)−1318=e3+18e−1318F(e) - F(1) = \left(\frac{e^3}{18} + e\right) - \frac{13}{18} = \frac{e^3 + 18e - 13}{18}.
43 puncte
Verificare și finalizare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.