MediuArii și volumeClasa 10

Problemă rezolvată de Arii și volume

MediuArii și volumeMatematică aplicată
Un rezervor de apă are forma unui cilindru circular drept cu o emisferă atașată la fiecare capăt. Înălțimea cilindrului este H=10H = 10 m, iar raza comună a cilindrului și emisferelor este R=2R = 2 m. Rezervorul este poziționat vertical. Calculați: a) Aria suprafeței totale a rezervorului. b) Volumul total al rezervorului. c) Dacă rezervorul este umplut cu apă până la înălțimea de 55 m de la baza inferioară (considerând baza inferioară ca fiind punctul cel mai de jos al emisferei inferioare), determinați volumul apei conținute.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Calculați ariile componentelor. Aria laterală a cilindrului: Acyl=2πRH=40πA_{cyl} = 2\pi R H = 40\pi m2^2. Aria unei emisfere: Ahem=2πR2=8πA_{hem} = 2\pi R^2 = 8\pi m2^2. Pentru două emisfere, aria totală este 16π16\pi m2^2.
21 punct
Aria totală a rezervorului: At=Acyl+2Ahem=40π+16π=56πA_t = A_{cyl} + 2A_{hem} = 40\pi + 16\pi = 56\pi m2^2.
33 puncte
Calculați volumele componentelor. Volumul cilindrului: Vcyl=πR2H=40πV_{cyl} = \pi R^2 H = 40\pi m3^3. Volumul unei emisfere: Vhem=23πR3=16π3V_{hem} = \frac{2}{3}\pi R^3 = \frac{16\pi}{3} m3^3. Pentru două emisfere, volumul total este 32π3\frac{32\pi}{3} m3^3.
41 punct
Volumul total al rezervorului: Vt=Vcyl+2Vhem=40π+32π3=152π3V_t = V_{cyl} + 2V_{hem} = 40\pi + \frac{32\pi}{3} = \frac{152\pi}{3} m3^3.
52 puncte
Pentru volumul apei: înălțimea de umplere de 55 m include emisfera inferioară completă (înălțime R=2R = 2 m) și o parte a cilindrului de înălțime 5−2=35 - 2 = 3 m. Volumul apei: Vapa=Vhem+πR2⋅3=16π3+12π=52π3V_{apa} = V_{hem} + \pi R^2 \cdot 3 = \frac{16\pi}{3} + 12\pi = \frac{52\pi}{3} m3^3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Arii și volume

Mediu#1Arii și volumeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trebuie construit un moviliu de cale ferată lung de 100 m, a cărui secțiune transversală este un trapez isoscel cu baza inferioară 5 m5\mathrm{\,m}, baza superioară cel puţin 2 m2\mathrm{\,m} şi panta laterală de 45∘45^\circ. Determinaţi înălţimea hh a moviliului astfel încât volumul excavărilor să fie cel puţin 400 m3400\mathrm{\,m^3} şi cel mult 500 m3500\mathrm{\,m^3}.
Mediu#2Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Determinați volumul maxim VV al unui con având generatoarea de lungime aa.
Mediu#3Arii și volumeAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Dintr-un cerc se taie un sector cu unghiul central α\alpha. Din partea rămasă a cercului se construiește un con. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul conului este maxim?
Greu#4Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Baza unei piramide este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază α\alpha. Fiecare dintre unghiurile diedre de la bază este egal cu φ\varphi. Raza sferei înscrise în piramidă este RR. Determinați volumul piramidei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul piramidei este minim?
Vezi toate problemele de Arii și volume →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.