MediuStatistică descriptivăClasa 10

Problemă rezolvată de Statistică descriptivă

MediuStatistică descriptivăProgresii AritmeticeProbabilități
Un șir de numere reale x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_n are media aritmetică xˉ=10\bar{x} = 10 și varianța s2=4s^2 = 4. Se adaugă încă un termen xn+1x_{n+1} astfel încât noua medie aritmetică devine 11. Determinați valoarea lui xn+1x_{n+1} și noul deviație standard. De asemenea, dacă șirul inițial este o progresie aritmetică cu rația r=2r=2, iar x1=4x_1=4, determinați numărul de termeni nn și suma termenilor. Pentru final, calculați probabilitatea ca alegând un termen la întâmplare din noul șir (cu n+1n+1 termeni), acesta să fie mai mare decât 12, considerând că termenii sunt distribuți uniform.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem formulele mediei și varianței pentru șirul inițial: xˉ=∑i=1nxin=10\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = 10, deci ∑i=1nxi=10n\sum_{i=1}^n x_i = 10n. s2=∑i=1n(xi−xˉ)2n=4s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n} = 4, deci ∑i=1n(xi−10)2=4n\sum_{i=1}^n (x_i - 10)^2 = 4n.
22 puncte
După adăugarea lui xn+1x_{n+1}, noua medie este ∑i=1nxi+xn+1n+1=11\frac{\sum_{i=1}^n x_i + x_{n+1}}{n+1} = 11. Înlocuind ∑i=1nxi=10n\sum_{i=1}^n x_i = 10n, obținem 10n+xn+1n+1=11\frac{10n + x_{n+1}}{n+1} = 11, deci 10n+xn+1=11(n+1)=11n+1110n + x_{n+1} = 11(n+1) = 11n + 11, de unde xn+1=n+11x_{n+1} = n + 11.
32 puncte
Pentru noua varianță, calculăm suma pătratelor: din varianța inițială, ∑i=1nxi2=n(s2+xˉ2)=n(4+100)=104n\sum_{i=1}^n x_i^2 = n(s^2 + \bar{x}^2) = n(4 + 100) = 104n. Noua sumă a pătratelor este ∑i=1n+1xi2=104n+(n+11)2=n2+126n+121\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 = 104n + (n+11)^2 = n^2 + 126n + 121. Noua medie este 11, deci noua varianță este s′2=∑i=1n+1xi2n+1−112=n2+126n+121n+1−121=n2+5nn+1=n(n+5)n+1s'^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2}{n+1} - 11^2 = \frac{n^2 + 126n + 121}{n+1} - 121 = \frac{n^2 + 5n}{n+1} = \frac{n(n+5)}{n+1}. Deviația standard este s′2\sqrt{s'^2}.
42 puncte
Șirul inițial este progresie aritmetică cu x1=4x_1=4, r=2r=2, deci xn=4+2(n−1)=2n+2x_n = 4 + 2(n-1) = 2n+2. Media progresiei este x1+xn2=4+2n+22=n+3\frac{x_1 + x_n}{2} = \frac{4 + 2n+2}{2} = n+3. Dar media este 10, deci n+3=10n+3=10, de unde n=7n=7. Suma termenilor este Sn=n(x1+xn)2=7⋅(4+16)2=70S_n = \frac{n(x_1+x_n)}{2} = \frac{7 \cdot (4+16)}{2} = 70.
52 puncte
Cu n=7n=7, xn+1=7+11=18x_{n+1} = 7+11=18. Noul șir are termenii: 4,6,8,10,12,14,16,18. Termenii mai mari decât 12 sunt 14,16,18 (3 termeni). Probabilitatea este 38=0.375\frac{3}{8} = 0.375.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Statistică descriptivă

Ușor#1Statistică descriptivăProbabilități
Rezultatele unui test la matematică pentru 100 de elevi au o medie de 75 de puncte și o abatere standard de 10 puncte, distribuite normal. Aflați probabilitatea ca un elev ales aleatoriu să obțină între 70 și 80 de puncte. În plus, determinați numărul așteptat de elevi care obțin peste 85 de puncte.
Ușor#2Statistică descriptivăProbabilitățiMatematică aplicată
Un sondaj privind venitul lunar al familiilor dintr-un oraș a arătat că media este de 5000 lei și abaterea standard este de 1000 lei. Presupunând că venitul urmează o distribuție normală, calculați probabilitatea ca o familie aleasă aleatoriu să aibă un venit între 4000 și 6000 lei. Utilizați tabelul valorilor funcției Laplace, unde Φ(1)=0.3413\Phi(1) = 0.3413.
Ușor#3Statistică descriptivăMatematică aplicată
Se înregistrează timpii de reacție (în milisecunde) pentru 15 subiecți: 210, 215, 208, 212, 220, 205, 218, 214, 209, 213, 217, 211, 216, 207, 219. Calculați media, mediana, modul și deviația standard a acestor date. Analizați simetria distribuției.
Mediu#4Statistică descriptivăMatematică aplicată
O companie a înregistrat venituri lunare (în mii de lei) pe un an: [12,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40][12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40]. Calculați media, dispersia și abaterea standard a acestor venituri. Apoi, determinați intervalul de încredere pentru media populației, presupunând că datele provin dintr-o distribuție normală și nivelul de încredere este de 95%95\%. (Se cunoaște că pentru 1111 grade de libertate, valoarea-tt este 2.2012.201.)
Vezi toate problemele de Statistică descriptivă →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Statistică descriptivă cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.