MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Fie șirul (In)n≥0(I_n)_{n \ge 0} definit pentru n≥0n \ge 0 prin In=∫0π2sin⁡nx dxI_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx. Să se demonstreze că pentru orice n≥0n \ge 0 are loc relația In+2=n+1n+2InI_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n. Utilizând această relație, să se calculeze I2nI_{2n} în funcție de I0I_0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru n≥0n \ge 0, scriem In+2=∫0π2sin⁡n+2x dx=∫0π2sin⁡nx(1−cos⁡2x) dx=In−∫0π2sin⁡nxcos⁡2x dxI_{n+2} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+2} x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x (1 - \cos^2 x) \, dx = I_n - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \cos^2 x \, dx. Integrând prin părți cu u=cos⁡xu = \cos x și dv=sin⁡nxcos⁡x dxdv = \sin^n x \cos x \, dx, obținem ∫0π2sin⁡nxcos⁡2x dx=1n+1In+2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \cos^2 x \, dx = \frac{1}{n+1} I_{n+2}. Substituind, avem In+2=In−1n+1In+2I_{n+2} = I_n - \frac{1}{n+1} I_{n+2}, deci (1+1n+1)In+2=In\left(1 + \frac{1}{n+1}\right) I_{n+2} = I_n, adică In+2=n+1n+2InI_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n.
22 puncte
Calculăm valorile inițiale: I0=∫0π2dx=π2I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx = \frac{\pi}{2} și I1=∫0π2sin⁡x dx=1I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = 1.
34 puncte
Aplicând recurența pentru n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots, avem I2n=2n−12nI2n−2=2n−12n⋅2n−32n−2⋯12I0I_{2n} = \frac{2n-1}{2n} I_{2n-2} = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac{1}{2} I_0. Astfel, I2n=(2n−1)!!(2n)!!⋅π2I_{2n} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}, unde (2n−1)!!=1⋅3⋅5⋯(2n−1)(2n-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) și (2n)!!=2⋅4⋅6⋯(2n)(2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n). Se poate exprima și ca I2n=π22n+1⋅(2n)!(n!)2I_{2n} = \frac{\pi}{2^{2n+1}} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.