MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, avem ∑k=1n1k+k+1=n+1−1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{n+1} - 1. Apoi calculați lim⁡n→∞∑k=1n1k+k+1n\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}}{\sqrt{n}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Pentru n=1n=1: 11+2=2−1(2)2−(1)2=2−1\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{1})^2} = \sqrt{2} - 1, adevărat. Presupunem că ∑k=1n1k+k+1=n+1−1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{n+1} - 1 pentru un n≥1n \geq 1. Pentru n+1n+1: ∑k=1n+11k+k+1=(n+1−1)+1n+1+n+2=n+1−1+n+2−n+1(n+2)−(n+1)=n+1−1+n+2−n+1=n+2−1\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = (\sqrt{n+1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}} = \sqrt{n+1} - 1 + \frac{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}}{(n+2) - (n+1)} = \sqrt{n+1} - 1 + \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} = \sqrt{n+2} - 1. Prin inducție, egalitatea este demonstrată.
25 puncte
Din demonstrație, ∑k=1n1k+k+1=n+1−1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{n+1} - 1. Atunci lim⁡n→∞n+1−1n=lim⁡n→∞n⋅1+1n−1n=lim⁡n→∞(1+1n−1n)=1−0=1\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1} - 1}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} - \frac{1}{\sqrt{n}} \right) = 1 - 0 = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.