MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateMonotonie și convexitate
Studiați funcția f:[0,2π]→Rf: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Determinați intervalele de monotonie, intervalele de convexitate și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=e−x(cos⁡x−sin⁡x)f'(x) = e^{-x}(\cos x - \sin x); determinarea punctelor critice: f′(x)=0⇒cos⁡x=sin⁡x⇒x=π4+kπf'(x) = 0 \Rightarrow \cos x = \sin x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi, pentru k∈Zk \in \mathbb{Z}; pe [0,2π][0, 2\pi], x=π4x = \frac{\pi}{4} și x=5π4x = \frac{5\pi}{4}.
23 puncte
Studiul monotoniei: se analizează semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele [0,π4)[0, \frac{\pi}{4}), (π4,5π4)(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}), (5π4,2π](\frac{5\pi}{4}, 2\pi]; ff este crescătoare pe [0,π4][0, \frac{\pi}{4}], descrescătoare pe [π4,5π4][\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}], și crescătoare pe [5π4,2π][\frac{5\pi}{4}, 2\pi].
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=e−x(−2cos⁡x)f''(x) = e^{-x}(-2\cos x); determinarea punctelor de inflexiune: f′′(x)=0⇒cos⁡x=0⇒x=π2f''(x) = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} și x=3π2x = \frac{3\pi}{2}.
42 puncte
Studiul convexității: se analizează semnul lui f′′(x)f''(x); ff este concavă pe [0,π2)[0, \frac{\pi}{2}), convexă pe (π2,3π2)(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}), și concavă pe (3π2,2π](\frac{3\pi}{2}, 2\pi]; punctele de inflexiune sunt x=π2x = \frac{\pi}{2} și x=3π2x = \frac{3\pi}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.