MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrie
Determinați mulțimea primitivelor funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=sin⁡3xcos⁡2xf(x) = \sin^3 x \cos^2 x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosind identitatea trigonometrică, scriem sin⁡3xcos⁡2x=sin⁡x(1−cos⁡2x)cos⁡2x=sin⁡xcos⁡2x−sin⁡xcos⁡4x\sin^3 x \cos^2 x = \sin x (1 - \cos^2 x) \cos^2 x = \sin x \cos^2 x - \sin x \cos^4 x.
24 puncte
Notăm u=cos⁡xu = \cos x, deci du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx. Atunci integrala devine ∫(sin⁡xcos⁡2x−sin⁡xcos⁡4x) dx=−∫u2 du+∫u4 du=−u33+u55+C\int (\sin x \cos^2 x - \sin x \cos^4 x) \, dx = -\int u^2 \, du + \int u^4 \, du = -\frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} + C.
33 puncte
Înlocuim înapoi u=cos⁡xu = \cos x, obținând primitiva F(x)=−cos⁡3x3+cos⁡5x5+CF(x) = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C, unde C∈RC \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.