MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1)−e−xf(x) = \ln(x^2 + 1) - e^{-x}. Să se arate că ff este strict crescătoare pe domeniul său și să se determine numărul de soluții reale ale ecuației f(x)=0f(x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=2xx2+1+e−xf'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} + e^{-x}.
23 puncte
Pentru x>0x > 0, avem 2xx2+1>0\frac{2x}{x^2 + 1} > 0 și e−x>0e^{-x} > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0, astfel ff este strict crescătoare pe (0,∞)(0, \infty).
32 puncte
Limitele: lim⁡x→0+f(x)=ln⁡(1)−1=−1\lim_{x \to 0^+} f(x) = \ln(1) - 1 = -1 și lim⁡x→∞f(x)=∞−0=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty - 0 = \infty.
42 puncte
Deoarece ff este continuă și strict crescătoare, iar f(0+)=−1<0f(0^+) = -1 < 0 și lim⁡x→∞f(x)=∞>0\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty > 0, ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact o soluție reală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.