MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Fie ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați valorile reale ale lui mm pentru care ecuația are două rădăcini reale distincte, iar suma pătratelor acestora este minimă. Calculați această sumă minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiția pentru rădăcini reale distincte: Δ>0\Delta > 0. Calculăm Δ=(m+1)2−4m=m2−2m+1=(m−1)2\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2. Deci Δ>0\Delta > 0 implică (m−1)2>0(m-1)^2 > 0, adică m≠1m \neq 1.
23 puncte
Suma pătratelor rădăcinilor: x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2. Folosind relațiile lui Viète, x1+x2=m+1x_1 + x_2 = m+1 și x1x2=mx_1 x_2 = m. Deci S(m)=(m+1)2−2m=m2+2m+1−2m=m2+1S(m) = (m+1)^2 - 2m = m^2 + 2m + 1 - 2m = m^2 + 1.
33 puncte
Minimizarea funcției S(m)=m2+1S(m) = m^2 + 1 pentru m∈R∖{1}m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. Deoarece m2≥0m^2 \geq 0, minimul este atins când m2m^2 este minim, adică m=0m=0. Verificăm că m=0m=0 satisface m≠1m \neq 1.
42 puncte
Suma minimă este S(0)=02+1=1S(0) = 0^2 + 1 = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.