MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateMonotonie și convexitate
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2+ln⁡(1+x2)f(x) = e^{-x^2} + \ln(1+x^2). Să se determine domeniul de definiție, să se studieze monotonie și convexitatea pe intervalul [0,+∞)[0, +\infty) și să se afle eventualele puncte de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: ln⁡(1+x2)\ln(1+x^2) este definit pentru 1+x2>01+x^2 > 0, adevărat pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}; e−x2e^{-x^2} este definit pentru orice xx, deci D=RD = \mathbb{R}.
23 puncte
Derivata întâi: f′(x)=−2xe−x2+2x1+x2f'(x) = -2xe^{-x^2} + \frac{2x}{1+x^2}. Pentru x≥0x \geq 0, semnul lui f′(x)f'(x): se analizează f′(x)=0f'(x)=0, adică −2xe−x2+2x1+x2=0⇒2x(11+x2−e−x2)=0-2xe^{-x^2} + \frac{2x}{1+x^2} = 0 \Rightarrow 2x\left(\frac{1}{1+x^2} - e^{-x^2}\right)=0. Soluții: x=0x=0 sau 11+x2=e−x2\frac{1}{1+x^2} = e^{-x^2}; pe [0,+∞)[0, +\infty), funcția este descrescătoare pe [0,1)[0,1) și crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty) după analiză numerică sau grafică (se acceptă justificarea prin studiu al semnului).
33 puncte
Derivata a doua pentru convexitate: f′′(x)=(4x2−2)e−x2+2(1−x2)(1+x2)2f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2} + \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0 pe [0,+∞)[0, +\infty); prin aproximare sau metode numerice, se găsește că există un punct de inflexiune la x≈0.7x \approx 0.7 (se poate cere verificarea semnului schimbării).
42 puncte
Concluzii: funcția are un minim local la x=1x=1 (din studiul monotoniei), este convexă pe anumite intervale și are punct de inflexiune; se completează cu observații asupra comportării la x→+∞x \to +\infty: f(x)→0f(x) \to 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.