MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiContinuitate
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=ln⁡(1+an)a_{n+1} = \ln(1 + a_n) pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se arată că șirul este mărginit. Deoarece a1=2>0a_1 = 2 > 0 și funcția f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln(1+x) este crescătoare, se demonstrează prin inducție că an>0a_n > 0 pentru orice nn. Apoi, observăm că dacă an≤2a_n \leq 2, atunci an+1=ln⁡(1+an)≤ln⁡(3)<2a_{n+1} = \ln(1+a_n) \leq \ln(3) < 2, deci șirul este mărginit superior de 2.
23 puncte
Se arată că șirul este descrescător. Pentru n=1n=1, a2=ln⁡(3)≈1.0986<2=a1a_2 = \ln(3) \approx 1.0986 < 2 = a_1. Presupunând an>an+1a_n > a_{n+1}, se demonstrează că an+1>an+2a_{n+1} > a_{n+2} deoarece ff este crescătoare și an+1=f(an)>f(an+1)=an+2a_{n+1} = f(a_n) > f(a_{n+1}) = a_{n+2}.
33 puncte
Din teorema convergenței monotone, șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență și folosind continuitatea funcției logaritm, avem L=ln⁡(1+L)L = \ln(1+L). Rezolvând ecuația, eL=1+Le^L = 1 + L, care are soluția unică L=0L=0, deoarece funcția g(L)=eL−L−1g(L) = e^L - L - 1 are derivata pozitivă pentru L>0L>0 și g(0)=0g(0)=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.