MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceSisteme de Ecuații Neliniare
Într-o progresie aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1}, termenii a2a_2, a5a_5 și a9a_9 sunt în progresie geometrică. Dacă a1+a9=20a_1 + a_9 = 20, aflați primul termen a1a_1 și rația rr.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimăm termenii progresiei aritmetice: a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a5=a1+4ra_5 = a_1 + 4r, a9=a1+8ra_9 = a_1 + 8r.
23 puncte
Condiția ca a2a_2, a5a_5, a9a_9 să fie în progresie geometrică: (a5)2=a2⋅a9(a_5)^2 = a_2 \cdot a_9, adică (a1+4r)2=(a1+r)(a1+8r)(a_1 + 4r)^2 = (a_1 + r)(a_1 + 8r).
32 puncte
Condiția a1+a9=20a_1 + a_9 = 20 dă: a1+(a1+8r)=20⇒2a1+8r=20⇒a1+4r=10a_1 + (a_1 + 8r) = 20 \Rightarrow 2a_1 + 8r = 20 \Rightarrow a_1 + 4r = 10.
43 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații: Din a1+4r=10a_1 + 4r = 10, avem a1=10−4ra_1 = 10 - 4r. Înlocuim în ecuația de la progresia geometrică: (10−4r+4r)2=(10−4r+r)(10−4r+8r)⇒102=(10−3r)(10+4r)⇒100=100+40r−30r−12r2⇒0=10r−12r2⇒2r(5−6r)=0(10 - 4r + 4r)^2 = (10 - 4r + r)(10 - 4r + 8r) \Rightarrow 10^2 = (10 - 3r)(10 + 4r) \Rightarrow 100 = 100 + 40r - 30r - 12r^2 \Rightarrow 0 = 10r - 12r^2 \Rightarrow 2r(5 - 6r) = 0. Deci r=0r = 0 sau r=56r = \frac{5}{6}. Dacă r=0r = 0, atunci a1=10a_1 = 10, iar dacă r=56r = \frac{5}{6}, atunci a1=10−4⋅56=10−206=10−103=203a_1 = 10 - 4 \cdot \frac{5}{6} = 10 - \frac{20}{6} = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}. Soluțiile sunt a1=10,r=0a_1 = 10, r = 0 sau a1=203,r=56a_1 = \frac{20}{3}, r = \frac{5}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.