MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceSisteme de Ecuații Neliniare
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie aritmetică și (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică. Se cunosc a1=b1=3a_1 = b_1 = 3, a4=b3a_4 = b_3, și suma primilor 6 termeni ai progresiei aritmetice este egală cu suma primilor 3 termeni ai progresiei geometrice. Determinați rația progresiei aritmetice și rația progresiei geometrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea termenilor generali: an=3+(n−1)ra_n = 3 + (n-1)r și bn=3⋅qn−1b_n = 3 \cdot q^{n-1}.
23 puncte
Exprimarea condițiilor: a4=b3a_4 = b_3 dă 3+3r=3q23 + 3r = 3q^2, iar S6(a)=S3(b)S_6^{(a)} = S_3^{(b)} dă 18+15r=3(1+q+q2)18 + 15r = 3(1+q+q^2).
33 puncte
Simplificare: 1+r=q21+r = q^2 și 6+5r=1+q+q26 + 5r = 1+q+q^2.
42 puncte
Rezolvare sistem: din q2=1+rq^2 = 1+r și 6+5r=1+q+q26+5r = 1+q+q^2, se obține q=4+4rq = 4+4r, apoi (4+4r)2=1+r(4+4r)^2 = 1+r, de unde r=−1516r = -\frac{15}{16}, q=14q = \frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.