MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeEcuații exponentialeLogaritmi
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=3xn−2x_{n+1} = 3^{x_n - 2} pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Arătăm că șirul este descrescător și mărginit. x1=1x_1 = 1, x2=31−2=13<x1x_2 = 3^{1-2} = \frac{1}{3} < x_1. Prin inducție, presupunem xn+1<xnx_{n+1} < x_n, atunci xn+2=3xn+1−2<3xn−2=xn+1x_{n+2} = 3^{x_{n+1} - 2} < 3^{x_n - 2} = x_{n+1}, deci șirul este descrescător. Toți termenii sunt pozitivi, deci șirul este mărginit inferior de 0.
23 puncte
Deoarece șirul este descrescător și mărginit inferior, este convergent conform teoremei de convergență a șirurilor monotone. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n.
32 puncte
Trecând la limită în relația de recurență, obținem L=3L−2L = 3^{L - 2}.
42 puncte
Rezolvăm ecuația L=3L−2L = 3^{L - 2}. Luăm logaritm în baza 3: log⁡3L=L−2\log_3 L = L - 2, deci L−log⁡3L=2L - \log_3 L = 2. Observăm că L=3L = 3 satisface: 3−log⁡33=3−1=23 - \log_3 3 = 3 - 1 = 2. Funcția f(L)=L−log⁡3Lf(L) = L - \log_3 L este crescătoare pentru L>0L > 0 (deoarece derivata f′(L)=1−1Lln⁡3>0f'(L) = 1 - \frac{1}{L \ln 3} > 0 pentru L>1ln⁡3L > \frac{1}{\ln 3}, ceea ce este adevărat pentru L≥1L \geq 1), deci soluția este unică. Astfel, L=3L = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.