MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−5x−2f(x) = \frac{3x - 5}{x - 2}. Să se determine o primitivă FF a lui ff care verifică F(3)=4F(3) = 4. Apoi, să se calculeze ∫14f(x)dx\int_{1}^{4} f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se rescrie funcția: f(x)=3x−5x−2=3+1x−2f(x) = \frac{3x - 5}{x - 2} = 3 + \frac{1}{x-2}. O primitivă generală este F(x)=∫f(x)dx=∫(3+1x−2)dx=3x+ln⁡∣x−2∣+CF(x) = \int f(x) dx = \int (3 + \frac{1}{x-2}) dx = 3x + \ln|x-2| + C.
23 puncte
Se folosește condiția F(3)=4F(3)=4: 3⋅3+ln⁡∣3−2∣+C=4⇒9+ln⁡1+C=4⇒9+0+C=4⇒C=−53 \cdot 3 + \ln|3-2| + C = 4 \Rightarrow 9 + \ln 1 + C = 4 \Rightarrow 9 + 0 + C = 4 \Rightarrow C = -5. Deci F(x)=3x+ln⁡∣x−2∣−5F(x) = 3x + \ln|x-2| - 5.
33 puncte
Se calculează integrala definită: ∫14f(x)dx=F(4)−F(1)=(3⋅4+ln⁡∣4−2∣−5)−(3⋅1+ln⁡∣1−2∣−5)=(12+ln⁡2−5)−(3+ln⁡1−5)=(7+ln⁡2)−(3−5)=7+ln⁡2−(−2)=7+ln⁡2+2=9+ln⁡2\int_{1}^{4} f(x) dx = F(4) - F(1) = (3 \cdot 4 + \ln|4-2| - 5) - (3 \cdot 1 + \ln|1-2| - 5) = (12 + \ln 2 - 5) - (3 + \ln 1 - 5) = (7 + \ln 2) - (3 - 5) = 7 + \ln 2 - (-2) = 7 + \ln 2 + 2 = 9 + \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.