MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații logaritmiceEcuații iraționale
Să se rezolve în R\mathbb{R} ecuația log⁡2(x2−4x+3)−1=2\sqrt{ \log_{2}(x^2 - 4x + 3) - 1 } = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea domeniului de definiție: log⁡2(x2−4x+3)−1≥0\log_{2}(x^2 - 4x + 3) - 1 \geq 0 și x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0. Din x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0 se obține x∈(−∞,1)∪(3,∞)x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty). Din log⁡2(x2−4x+3)≥1\log_{2}(x^2 - 4x + 3) \geq 1, rezultă x2−4x+3≥2x^2 - 4x + 3 \geq 2, adică x2−4x+1≥0x^2 - 4x + 1 \geq 0, cu soluțiile x≤2−3x \leq 2 - \sqrt{3} sau x≥2+3x \geq 2 + \sqrt{3}. Intersecția dă domeniul D=(−∞,2−3]∪[2+3,∞)D = (-\infty, 2 - \sqrt{3}] \cup [2 + \sqrt{3}, \infty).
24 puncte
Rezolvarea ecuației: log⁡2(x2−4x+3)−1=2⇒log⁡2(x2−4x+3)−1=4⇒log⁡2(x2−4x+3)=5⇒x2−4x+3=32⇒x2−4x−29=0\sqrt{ \log_{2}(x^2 - 4x + 3) - 1 } = 2 \Rightarrow \log_{2}(x^2 - 4x + 3) - 1 = 4 \Rightarrow \log_{2}(x^2 - 4x + 3) = 5 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 32 \Rightarrow x^2 - 4x - 29 = 0. Soluțiile sunt x=2±33x = 2 \pm \sqrt{33}.
33 puncte
Verificarea în domeniu: 2−33≈−3.744<2−3≈0.2682 - \sqrt{33} \approx -3.744 < 2 - \sqrt{3} \approx 0.268, deci aparține lui (−∞,2−3](-\infty, 2 - \sqrt{3}]; 2+33≈7.744>2+3≈3.7322 + \sqrt{33} \approx 7.744 > 2 + \sqrt{3} \approx 3.732, deci aparține lui [2+3,∞)[2 + \sqrt{3}, \infty). Ambele soluții sunt valabile. Soluția finală: x∈{2−33,2+33}x \in \{ 2 - \sqrt{33}, 2 + \sqrt{33} \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.