MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Fie funcția f(x)=e−x(x2−2x)f(x) = e^{-x} (x^2 - 2x). Determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie și convexitate, și calculați integrala definită ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Domeniul de definiție este R\mathbb{R}, deoarece funcția este definită pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.
22 puncte
Asimptote: lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, deci există asimptotă orizontală la y=0y = 0 când x→+∞x \to +\infty.
34 puncte
Derivate: f′(x)=e−x(−x2+4x−2)f'(x) = e^{-x}(-x^2 + 4x - 2), f′′(x)=e−x(x2−6x+6)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 6x + 6). Studiul semnului: pentru f′(x)f'(x), rezolvăm −x2+4x−2=0-x^2 + 4x - 2 = 0, cu rădăcinile x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2}; crește pe (2−2,2+2)(2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}), descrește pe (−∞,2−2)(-\infty, 2-\sqrt{2}) și (2+2,∞)(2+\sqrt{2}, \infty). Pentru f′′(x)f''(x), rezolvăm x2−6x+6=0x^2 - 6x + 6 = 0, cu rădăcinile x=3±3x = 3 \pm \sqrt{3}; convexă pe (−∞,3−3)(-\infty, 3-\sqrt{3}) și (3+3,∞)(3+\sqrt{3}, \infty), concavă pe (3−3,3+3)(3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3}).
43 puncte
Integrala: ∫02e−x(x2−2x) dx\int_{0}^{2} e^{-x}(x^2 - 2x) \, dx. Folosim integrarea prin părți sau direct: ∫e−x(x2−2x) dx=−e−x(x2+2x+2)+C\int e^{-x}(x^2 - 2x) \, dx = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C, deci ∫02f(x) dx=[−e−x(x2+2x+2)]02=(−e−2(4+4+2))−(−1(0+0+2))=−10e−2+2\int_{0}^{2} f(x) \, dx = [-e^{-x}(x^2 + 2x + 2)]_{0}^{2} = (-e^{-2}(4+4+2)) - (-1(0+0+2)) = -10e^{-2} + 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.