MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)(a_n) o progresie aritmetică cu primul termen a1a_1 și rația rr. Știind că a1+a3=10a_1 + a_3 = 10 și a2⋅a4=24a_2 \cdot a_4 = 24, determinați toate progresiile aritmetice posibile care satisfac aceste condiții și calculați suma S10S_{10} a primilor 10 termeni pentru fiecare caz.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Exprimăm termenii în funcție de a1a_1 și rr: a1=a1a_1 = a_1, a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r. \
22 puncte
Formăm sistemul de ecuații: {a1+(a1+2r)=10(a1+r)(a1+3r)=24\begin{cases} a_1 + (a_1 + 2r) = 10 \\ (a_1 + r)(a_1 + 3r) = 24 \end{cases} care devine {2a1+2r=10(a1+r)(a1+3r)=24\begin{cases} 2a_1 + 2r = 10 \\ (a_1 + r)(a_1 + 3r) = 24 \end{cases}. \
33 puncte
Simplificăm prima ecuație: a1+r=5a_1 + r = 5, deci a1=5−ra_1 = 5 - r. Înlocuim în a doua ecuație: (5)(5+2r)=24⇒25+10r=24⇒10r=−1⇒r=−0,1(5)(5 + 2r) = 24 \Rightarrow 25 + 10r = 24 \Rightarrow 10r = -1 \Rightarrow r = -0,1. Atunci a1=5−(−0,1)=5,1a_1 = 5 - (-0,1) = 5,1. \
42 puncte
Progresia aritmetică este unică: a1=5,1a_1 = 5,1, r=−0,1r = -0,1, deci termenii sunt 5,1;5;4,9;4,8;…5,1; 5; 4,9; 4,8; \dots. \
51 punct
Calculăm S10S_{10}: S10=102⋅(2⋅5,1+9⋅(−0,1))=5⋅(10,2−0,9)=5⋅9,3=46,5S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 5,1 + 9 \cdot (-0,1)) = 5 \cdot (10,2 - 0,9) = 5 \cdot 9,3 = 46,5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.