MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Se cere: a) Să se determine punctele de extrem local ale funcției ff pe intervalul [0,π][0, \pi]; b) Să se calculeze integrala definită ∫0πf(x)dx\int_0^{\pi} f(x) dx; c) Să se determine aria domeniului mărginit de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=πx=\pi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=e−x(cos⁡x−sin⁡x)f'(x) = e^{-x}(\cos x - \sin x). Ecuația f′(x)=0⇒cos⁡x−sin⁡x=0⇒tan⁡x=1⇒x=π4f'(x)=0 \Rightarrow \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} pe [0,π][0,\pi]. Studiul semnului: pe [0,π4)[0, \frac{\pi}{4}), cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x, deci f′(x)>0f'(x) > 0; pe (π4,π](\frac{\pi}{4}, \pi], cos⁡x<sin⁡x\cos x < \sin x, deci f′(x)<0f'(x) < 0. Astfel, x=π4x=\frac{\pi}{4} este punct de maxim local, f(π4)=22e−π/4f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\pi/4}.
23 puncte
Calculul integralei: ∫0πe−xsin⁡xdx\int_0^{\pi} e^{-x} \sin x dx. Folosind integrarea prin părți sau formula, obținem ∫e−xsin⁡xdx=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+C\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{1}{2} e^{-x}(\sin x + \cos x) + C. Atunci ∫0πe−xsin⁡xdx=[−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)]0π=12(1+e−π)\int_0^{\pi} e^{-x} \sin x dx = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x}(\sin x + \cos x) \right]_0^{\pi} = \frac{1}{2}(1 + e^{-\pi}).
33 puncte
Determinarea ariei: Deoarece f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru x∈[0,π]x \in [0,\pi] (sin⁡x≥0\sin x \geq 0 și e−x>0e^{-x} > 0), aria domeniului este ∫0πf(x)dx=12(1+e−π)\int_0^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{2}(1 + e^{-\pi}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.