MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definite
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x2+4x+5f(x) = \frac{2x+1}{x^2+4x+5}. Determinați o primitivă FF a funcției ff care satisface F(0)=ln⁡5F(0) = \ln 5. Apoi calculați ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se rescrie funcția: f(x)=2x+1x2+4x+5=2x+4x2+4x+5−3x2+4x+5f(x) = \frac{2x+1}{x^2+4x+5} = \frac{2x+4}{x^2+4x+5} - \frac{3}{x^2+4x+5}. O primitivă generală este F(x)=ln⁡(x2+4x+5)−3arctan⁡(x+2)+CF(x) = \ln(x^2+4x+5) - 3 \arctan(x+2) + C.
22 puncte
Din condiția F(0)=ln⁡5F(0) = \ln 5, se obține ln⁡5−3arctan⁡2+C=ln⁡5\ln 5 - 3 \arctan 2 + C = \ln 5, deci C=3arctan⁡2C = 3 \arctan 2. Astfel, F(x)=ln⁡(x2+4x+5)−3arctan⁡(x+2)+3arctan⁡2F(x) = \ln(x^2+4x+5) - 3 \arctan(x+2) + 3 \arctan 2.
34 puncte
Integrala definită este ∫01f(x)dx=F(1)−F(0)=[ln⁡(1+4+5)−3arctan⁡3+3arctan⁡2]−ln⁡5=ln⁡10−ln⁡5−3arctan⁡3+3arctan⁡2=ln⁡2−3(arctan⁡3−arctan⁡2)\int_{0}^{1} f(x) dx = F(1) - F(0) = [\ln(1+4+5) - 3 \arctan 3 + 3 \arctan 2] - \ln 5 = \ln 10 - \ln 5 - 3 \arctan 3 + 3 \arctan 2 = \ln 2 - 3(\arctan 3 - \arctan 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.