MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorLogaritmiDerivate
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Determinați domeniul de definiție și calculați limitele lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x) și lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x). b) Calculați f′(x)f'(x) și f′′(x)f''(x). c) Studiați monotonia funcției și determinați punctele de extrem local. d) Studiați convexitatea și punctele de inflexiune. e) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x=1. f) Schițați graficul funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Domeniul este (0,∞)(0, \infty) deoarece ln⁡x\ln x este definit pentru x>0x>0. Limitele: lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 (se poate folosi regula lui L'Hôpital sau este cunoscut) și lim⁡x→∞xln⁡x=∞\lim_{x \to \infty} x \ln x = \infty.\n
22 puncte
f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1, f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.\n
32 puncte
f′(x)=0⇒ln⁡x+1=0⇒x=e−1f'(x) = 0 \Rightarrow \ln x + 1 = 0 \Rightarrow x = e^{-1}. Pe (0,e−1)(0, e^{-1}), f′(x)<0f'(x) < 0, funcția este descrescătoare; pe (e−1,∞)(e^{-1}, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0, funcția este crescătoare. Punct de minim local la x=e−1x = e^{-1}, f(e−1)=−e−1f(e^{-1}) = -e^{-1}.\n
42 puncte
f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0 pentru x>0x>0, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0, \infty) și nu are puncte de inflexiune.\n
51 punct
Tangenta în x=1x=1: f(1)=0f(1)=0, f′(1)=1f'(1)=1, ecuația este y=1⋅(x−1)+0y = 1 \cdot (x-1) + 0, adică y=x−1y = x-1.\n
61 punct
Schița graficului: funcție definită pe (0,∞)(0,\infty), cu minim la (e−1,−e−1)(e^{-1}, -e^{-1}), crescătoare după acest punct, convexă, trece prin (1,0)(1,0), tangentă y=x−1y=x-1 în acest punct.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.