MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Calculați aria regiunii mărginite de graficul funcției f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1|, axa OxOx și dreptele x=−2x=-2 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinați intervalele pe care x2−1≥0x^2 - 1 \geq 0 și x2−1<0x^2 - 1 < 0 pentru x∈[−2,2]x \in [-2,2]. Se obține x2−1≥0x^2 - 1 \geq 0 pentru x∈[−2,−1]∪[1,2]x \in [-2,-1] \cup [1,2] și x2−1<0x^2 - 1 < 0 pentru x∈(−1,1)x \in (-1,1).
24 puncte
Scrieți integrala definită pentru arie: A=∫−22∣x2−1∣ dx=∫−2−1(x2−1) dx+∫−11(1−x2) dx+∫12(x2−1) dxA = \int_{-2}^{2} |x^2 - 1| \, dx = \int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) \, dx + \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx.
33 puncte
Calculați fiecare integrală folosind primitive: ∫(x2−1) dx=x33−x+C\int (x^2 - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x + C, ∫(1−x2) dx=x−x33+C\int (1 - x^2) \, dx = x - \frac{x^3}{3} + C. Apoi evaluați: ∫−2−1(x2−1) dx=[x33−x]−2−1=43\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-2}^{-1} = \frac{4}{3}, ∫−11(1−x2) dx=[x−x33]−11=43\int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3}, ∫12(x2−1) dx=[x33−x]12=43\int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2} = \frac{4}{3}. Sumați pentru a obține A=43+43+43=4A = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.