MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} cu a1=1a_1 = 1 și rația rr, și progresia geometrică (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} cu b1=1b_1 = 1 și rația qq. Dacă a2=b3a_2 = b_3 și suma primilor 4 termeni ai progresiei aritmetice este egală cu suma primilor 3 termeni ai progresiei geometrice, determinați valorile lui rr și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Exprimăm a2=a1+r=1+ra_2 = a_1 + r = 1 + r și b3=b1⋅q2=q2b_3 = b_1 \cdot q^2 = q^2.
21 punct
Din a2=b3a_2 = b_3, obținem 1+r=q21 + r = q^2.
33 puncte
Calculăm suma S4=42(2a1+3r)=2(2+3r)=4+6rS_4 = \frac{4}{2}(2a_1 + 3r) = 2(2 + 3r) = 4 + 6r pentru progresia aritmetică, și suma S3=b1(q3−1)q−1=q3−1q−1=q2+q+1S_3 = \frac{b_1(q^3 - 1)}{q-1} = \frac{q^3 - 1}{q-1} = q^2 + q + 1 pentru progresia geometrică (presupunând q≠1q \neq 1; cazul q=1q=1 se analizează separat).
42 puncte
Din condiția S4=S3S_4 = S_3, avem 4+6r=q2+q+14 + 6r = q^2 + q + 1. Înlocuind r=q2−1r = q^2 - 1 din step 2, obținem 4+6(q2−1)=q2+q+1⇒5q2−q−3=04 + 6(q^2 - 1) = q^2 + q + 1 \Rightarrow 5q^2 - q - 3 = 0.
52 puncte
Rezolvăm ecuația 5q2−q−3=05q^2 - q - 3 = 0, obținem q=1±6110q = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{10}. Apoi r=q2−1r = q^2 - 1. Verificăm cazul q=1q=1: din 1+r=11+r=1, deci r=0r=0, dar atunci S4=4S_4=4 și S3=3S_3=3, deci nu verifică, așadar q≠1q \neq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.